Determine o limite lim x→-8 (2x / (x + 8))

Passo 1

Nosso objetivo é determinar o que acontece com a função f (x) = (2 x)/(x + 8) próximo de oito pela esquerda, ou seja, valores menores que oito. Partiu?

Vamos usar a regra do quociente aqui, já que estamos com uma divisão:

underset(x -> - 8^+)(l i m) (2 x)/(x + 8) = (underset(x -> - 8^+)(l i m) 2 x)/(underset(x -> - 8^+)(l i m) ( x + 8 ))

Passo 2

Agora, usando a regra da soma (o limite da soma é a soma dos limites), no denominador, temos

underset(x -> - 8^+)(l i m) (2 x)/(x + 8) = (underset(x -> - 8^+)(l i m) 2 x)/(underset(x -> - 8^+)(l i m) ( x + 8 )) = (underset(x -> - 8^+)(l i m) 2 x)/(underset(x -> - 8^+)(l i m) x + underset(x -> - 8^+)(l i m) 8)

Passo 3

Perceba que underset(x -> - 8^+)(l i m) 8 = 8 ,porque ele n depende de x.

Agora é hora de substituir o limite, então bora lá.

(underset(x -> - 8^+)(l i m) 2 x)/(underset(x -> - 8^+)(l i m) x + underset(x -> - 8^+)(l i m) 8) = (2 * ( - 8 ))/(- 8 + 8) = - (16)/(0)

Não escreve essa última igualdade na prova, seu professor não vai curtir muito, fiz isso só pra tu ver que o numerador é não nulo enquanto o denominador é. Ou seja, nossas contas estão indo para infinito. Resta-nos saber se oo ou - oo .

Passo 4

Vamos analisar se o limite será oo ou - oo .

Perceba que estamos nos aproximando de - 8 pela direita, ou seja, valores maiores que ele. Sendo assim, nosso denominador tende a ficar positivo, o que significa dizer que teremos:

(- 16)/(p o s i t i v o) = (n e g a t i v o)/(p o s i t i v o) = n e g a t i v o

Logo, (ai tu escreve assim bem bonitinho pra seu professor te dá os pontos da questão)

underset(x -> - 8^+)(l i m) (2 x)/(x + 8) = - oo

Resposta

underset(x -> - 8^+)(l i m) (2 x)/(x + 8) = - oo

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