Enunciado
Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 5.1 - Ex. 30
Use (8) para provar que o intervalo de tempo entre dois máximos sucessivos de é
Passo 1
E aí jovem
Bora lá que esse é o último dessa seção
Primeiramente, temos que lembrar a formulazinha que descreve o movimento harmônico simples, lembra? Ela vai ser:
Agora vamos relembrar aquelas técnicas que vimos lá em cálculo 1 para encontrar os máximos de uma função, lembra como era?
Primeiro a gente tinha que derivar a função:
E agora temos que igualar a derivada a 0 para termos os pontos críticos:
Como e são constantes, então a única forma de isso ser 0 é se:
Agora vamos desenvolver essa igualdade aí
Passo 2
Temos:
A gente sabe que se , então , para inteiro
Mas como queremos só os pontos de máximo (e nesse caso aí em cima estamos incluindo todos os pontos críticos, incluindo os de mínimo), vamos escrever
Então, na igualdade que temos:
Isolando :
Agora pensa comigo:
Repara que no resultado, a diferenças entre dois sucessivos (que são dois máximos seguidos na função) é
Então, ta provadíssimo galera :D