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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 5.3 - Ex. 15

(a) Mostre que a solução para o problema de valor inicial

d 2 x d t 2 + ω 2 x = F 0 . cos ⁡ γ t ,     x 0 = 0 ,     x ' 0 = 0

É x t = F 0 ω 2 - γ 2 . cos ⁡ γ t - cos ⁡ ω t

(b) Calcule lim γ → ω ⁡ F 0 ω 2 - γ 2 . cos ⁡ γ t - cos ⁡ ω t

Passo 1

(a) Vamos lá?

Temos a equação diferencial

d 2 x d t 2 + ω 2 x = F 0 . cos ⁡ γ t

Com condições iniciais

x 0 = 0 ,     x ' 0 = 0

Então, para esse caso

x c = c 1 . cos ⁡ ω t + c 2 . s e n ( ω t )

E

x p = F 0 . c o s ⁡ ( γ t ) ω 2 - γ 2

Dessa forma:

x t = x c + x p

x t = F 0 ω 2 - γ 2 . cos ⁡ γ t - cos ⁡ ω t

Passo 2

(b) Agora vamos calcular

lim γ → ω ⁡ F 0 ω 2 - γ 2 . cos ⁡ γ t - cos ⁡ ω t

Nesse caso, temos uma indeterminação do tipo 0 0 , então vamos derivar em cima e embaixo em relação a γ , nosso querido L’Hospittal:

lim γ → ω ⁡ F 0 - t . sen ⁡ γ t - 2 γ

Então:

lim γ → ω ⁡ F 0 - t . sen ⁡ γ t - 2 γ = F 0 - t . sen ⁡ ω t - 2 ω

Como temos uma divisão de negativo com negativo, isso pode ficar positivo:

lim γ → ω ⁡ F 0 - t . sen ⁡ γ t - 2 γ = F 0 t . sen ⁡ ω t 2 ω

Resposta

b )   lim γ → ω ⁡ F 0 - t . sen ⁡ γ t - 2 γ = F 0 t . sen ⁡ ω t 2 ω

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