Neste problema, esquematizamos um modo diferente de obter a fórmula de Euler.

(a) Mostre que e formam um conjunto fundamental de soluções de ; ou seja, mostre que são soluções e que seu wroskianos não se anula.

(b) Mostre (formalmente) que também é solução de . Portanto,

para constantes e apropriadas. Por que isso ocorre?

(c) Faça na Eq. para mostrar que .

(d) Supondo que a Eq.(14) é válida, diferencie a Eq. e depois faça para concluir que . Use ks valores de e na Eq. para chegar à fórmula de Euler.

(a) O primeiro item podemos resolver bem rapidamente. Se estamos dizendo que e são soluções da nossa equação diferencial, então podemos mostrar simplesmente substituindo elas em nossa equação, assim temos que

Para . Temos que para vale o mesmo e . Assim já se torna claro que para nossa equação as duas soluções são satisfeitas, logo ela são soluções da nossa equação.

O wroskianos é dado pelo determinante de e , ou seja

Que é não nulo.

(b) Queremos mostrar que é uma solução também. Então vamos fazer o seguinte. Vamos inicialmente generalizar nossa solução, ou seja , onde pode ser qualquer coisa.

Então substituindo em nossa solução, temos

Dividindo tudo por , ficamos com nossa equação característica

Que nos da

Assim temos que para , é uma solução.

Mas lembre-se, a solução geral de uma equação diferencial é dada pela combinação linear das soluções, ou seja

O motivo disso é dado no paragrafo acima haha.

(c) Fazendo

Assim temos

(d) A Eq.(14) diz

Que é válida para valores complexos de

Assim temos

Em

Assim chegamos em

Com isso temos a fórmula de Euler