Neste problema, esquematizamos um modo diferente de obter a fórmula de Euler.

(a) Mostre que y₁(t) = cos(t) e y₂(t) = sen(t) formam um conjunto fundamental de soluções de y'' + y = 0 ; ou seja, mostre que são soluções e que seu wroskianos não se anula.

(b) Mostre (formalmente) que y = e^(it) também é solução de y'' + y = 0 . Portanto,

e^(it) = c1 * cos(t) + c2 * sen(t)

para constantes c₁ e c₂ apropriadas. Por que isso ocorre?

(c) Faça t = 0 na Eq. (i) para mostrar que c₁ = 1 .

(d) Supondo que a Eq.(14) é válida, diferencie a Eq. (i) e depois faça t = 0 para concluir que c₂ = i . Use ks valores de c₁ e c₂ na Eq. (i) para chegar à fórmula de Euler.

Passo 1

A melhor forma de determinarmos um Wroskiano a partir das funções dadas é com base no determinante.

W = d e t f 1 ⋯ f n ⋮ ⋱ ⋮ f 1 n ⋯ f n n

Passo 2

(a) O primeiro item podemos resolver bem rapidamente. Se estamos dizendo que y 1 e y 2 são soluções da nossa equação diferencial, então podemos mostrar simplesmente substituindo elas em nossa equação, assim temos que

Para y 1 t = cos ⁡ t → y 1 ' ' t = - cos ⁡ t . Temos que para y 2 t = s e n   t vale o mesmo e y 2 ' ' t = - s e n   t . Assim já se torna claro que para nossa equação y ' ' + y = 0 as duas soluções são satisfeitas, logo ela são soluções da nossa equação.

O wroskianos é dado pelo determinante de y 1 , y 1 ' , y 2 e y 2 ' , ou seja

W = d e t cos ⁡ t s e n   t - s e n   t cos ⁡ t = cos 2 ⁡ t + s e n 2 t = 1

Que é não nulo.

Passo 3

(b) Queremos mostrar que y = e i t é uma solução também. Então vamos fazer o seguinte. Vamos inicialmente generalizar nossa solução, ou seja e r t , onde r pode ser qualquer coisa.

Então substituindo em nossa solução, temos

r 2 e r t + e r t = 0

Dividindo tudo por e r t , ficamos com nossa equação característica

r 2 + 1 = 0

Que nos da

r = ± - 1 = ± i

Assim temos que para r = i , y = e i t é uma solução.

Mas lembre-se, a solução geral de uma equação diferencial é dada pela combinação linear das soluções, ou seja

y t = c 1 cos ⁡ t + c 2   s e n   t = e i t

O motivo disso é dado no paragrafo acima haha.

Passo 4

(c) Fazendo t = 0

c 1 cos ⁡ 0 + c 2   s e n   0 = e 0

Assim temos

c 1 = 1

Passo 5

(d) A Eq.(14) diz

d d t e r t = r e r t

Que é válida para valores complexos de r

Assim temos

d d t e i t = i e i t = d d t c 1 cos ⁡ t + c 2   s e n   t = - c 1 s e n   t + c 2 cos ⁡ t

Em t = 0

i e 0 = - 1 ⋅ 0 + c 2 ⋅ 1

Assim chegamos em

c 2 = i

Com isso temos a fórmula de Euler

e i t = cos ⁡ t + i   s e n   t

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Nos problemas 27 e 28, use uma identidade trigonométrica como auxílio para encontrar uma solução particular para a equação diferencial dada.28. y'' + y = sen x . cos(2x)
Nos problemas 1-26, resolva a equação diferencial dada pelo método dos coeficientes indeterminados.24. y''' - y'' - 4y' + 4y = 5 - e^x + e^(2x)
Nos problemas 1-26, resolva a equação diferencial dada pelo método dos coeficientes indeterminados.19. y'' + 2y' + y = sen x + 3 cos(2x)
Nos problemas 29-40, resolva a equação diferencial dada sujeita às condições iniciais indicadas.29. y'' + 4y = -2, y(π/8) = 1/2, y'(π/8) = 2
Nos problemas 1-26, resolva a equação diferencial dada pelo método dos coeficientes indeterminados.23. y''' - 3y'' + 3y' - y = x - 4e^x