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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 3.3 - Ex. 26

Considere o problema de valor inicial

y ' ' + 2 a y ' + a 2 + 1 y = 0 ,       y 0 = 1 ,       y ' 0 = 0

  1. Encontre a solução de y ( t ) deste problema.
  2. Encontre a = 1 , encontre o menor T para o qual y t < 0,1 , para t > T .
  3. Repita o item (b) para a = 1 / 4 , 1 / 2 e 2 .
  4. Usando os resultados dos itens (b) e (c), coloque em um gráfico os valores de T em função de a e descreva a relação entre T e a

Passo 1

O começo da nossa seção 3.3, temos uma equação geral dada por a y ' ' + b y ' + c y = 0 , onde a , b e c são números reais. Supondo como solução y = e r t , é possível descrever a nossa solução geral.

Passo 2

(a) Usando a ideia do passo 1, temos que

y ' ' + 2 a y ' + ( a 2 + 1 ) y = r 2 e r t + 2 a r e r t + ( a 2 + 1 ) e r t = 0

Na qual temos que y ' ' = r 2 e r t e y ' = r e r t .

Assim temos nossa equação característica dada por

r 2 + 2 a r + ( a 2 + 1 ) = 0

Agora só precisamos resolver nossa equação de segundo grau. Lembra de Baskara? Tem gente que acha que não serve pra nada hahaha. Resolvendo nossa equação chegamos em

r = - a ± i

Tendo como solução

u ( t ) = e - a t c 1 e i t + c 2 e - i t

Ou

u t = e - a t C 1 cos ⁡ t + C 2 sin ⁡ t

Passo 3

Uma vez que encontramos a nossa solução, podemos agora resolver nosso problema de valor inicial. Assim teremos que

y 0 = C 1 = 1

E tomando a derivada

y ' t = - a e - a t   C 1 cos ⁡ t + C 2 sin ⁡ t + e - a t - C 1 sin ⁡ t + C 2 cos ⁡ t

Onde em y ' 0 = 0 , ou seja

u ' 0 = - a 1 + C 2 ⋅ 0 + 1 ⋅ 0 + C 2 = 0

- a + C 2 = 0 → C 2 = a

Desta forma nossa solução geral se torna

y ( t ) = e - a t cos ⁡ t + a   sin ⁡ t

Passo 4

(b) Agora queremos o menor valor de T para qual a = 1 e y t < 0,1

y t = | e - t cos ⁡ t + sin ⁡ t | < 0 . 1

Ou seja

Resolvendo analiticamente, temos

T = 1.8763

Passo 5

(c) Repetindo o item (b)

a = 1 / 4

Com T = 7.4284

a = 1 / 2

Com T = 4.3003

E

a = 2

Com T = 1.5116

Passo 6

(d)

Podemos ver que a relação entre T e a é inversamente proporcional, ou seja. Quanto maior o valor de a menores valores de T acharemos.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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