Se e^(rt) é dado pela Eq.(13), mostre que

d / dt e^(rt) = r e^(rt)

Para qualquer número complexo r .

Passo 1

A equação (13) é dado por

e λ - i u t = e λ t ( cos ⁡ μ t + i   s e n   μ t )

Passo 2

Seja r um número complexo, então podemos escreve-lo como r = λ + i μ

Então

e r t = e λ + i μ t = e λ t ( cos ⁡ μ + i   s e n   μ t )

Como sugerido no nosso passo 1.

Então temos que tomando nossa derivada, temos

d d t e λ t cos ⁡ μ t + i   s e n   μ t

É pela regra da cadeia

= λ e λ t cos ⁡ μ t + i   s e n   μ t + μ e λ t - s e n   μ t + i cos ⁡ μ t

Colocando o i em evidência no segundo termo

= λ e λ t cos ⁡ μ t + i   s e n   μ t + i μ e λ t cos ⁡ μ t + i   s e n   μ t

E agora parece sem óbvio que devemos colocar e λ t cos ⁡ μ t + i   s e n   μ t em evidência.

Assim

λ + i μ e λ t cos ⁡ μ t + i   s e n   μ t = r e r t

Como queríamos mostrar.

Parecia mais difícil do que foi, não ?

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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