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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 2.1 - Ex. 14i

Olhando para o gráfico, estude a variação do sinal de f ( x ) .

i ) f x = 2 x 2 - 6 x + 1

Passo 1

Primeiro vamos começar pelo esboço dessa função. Ela é uma funçãod e segundo grau, portanto a cara dela é de uma parábola. Para esboçar uma parábola precisamos determinar quatro pontos principais: as duas raíses, o ponto onde a função corta o eixo y e o vértice. Vamos lá?

Primeiro as raízes: f x = 0

2 x 2 - 6 x + 1 = 0

Usando a fórmula de Bhaskara com a = 2 ,   b = - 6 ,   c = 1 temos:

x = - b ± b 2 - 4 a c 2 a = - ( - 6 ) ± ( - 6 ) 2 - 4.2 . 1 2.2 = 3 ± 7 2

Assim os dois primeiros pontos são: 3 + 7 2 , 0 e 3 - 7 2 , 0 .

Passo 2

Agora vamos pros outros dois? Bola lá! O ponto onde a função corta o eixo y é onde x = 0 :

f 0 = 2 . 0 2 - 6.0 + 1 = 1

Então o ponto no qual a função cruza o eixo y é o ( 0,1 ) .

Passo 3

Por último o vértice:

x v = - b 2 a = - ( - 6 ) 2.2 = 3 2

y v = - Δ 4 a = - 28 4.2 = - 7 2

Assim temos o vértice 3 2 , - 7 2 . Como o coeficiente a é maior do que zero, a parábola tem boca para cima. Juntando os quatro pontos, podemos construir o gráfico:

Beleza! Agora sim podemos analisar o sinal da função!

A função assume valores positivos quando está acima do eixo x , e valores negativos quando está abaixo.

Sendo assim temos:

f x ≥ 0 : x ≤ 3 - 7 2 o u   x ≥ 3 + 7 2

f x < 0 :   3 - 7 2 < x < 3 + 7 2

Certo? Vamos pra próxima?

Resposta

f x ≥ 0 : x ≤ 3 - 7 2 o u   x ≥ 3 + 7 2

f x < 0 :   3 - 7 2 < x < 3 + 7 2

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Com relação à função dada, determine a raízes (caso existam), o maior ou o menor valor e esboce o gráfico. a ) f x = x 2 - 3 x + 2
Com relação à função dada, determine a raízes (caso existam), o maior ou o menor valor e esboce o gráfico. c ) f x = x 2 - 4 x + 4
Com relação à função dada, determine a raízes (caso existam), o maior ou o menor valor e esboce o gráfico. g ) f x = - x 2 + 2 x
Com relação à função dada, determine a raízes (caso existam), o maior ou o menor valor e esboce o gráfico. j ) f x = - x 2 - 4 x - 5
Com relação à função dada, determine a raízes (caso existam), o maior ou o menor valor e esboce o gráfico. b ) f x = x 2 - 4