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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 2.1 - Ex. 3r

Simplifique (f (x + h) - f ( x ))/(h) ( h != 0 ) sendo f ( x ) igual a

r ) f (x) = (1)/(x^2)

Passo 1

Tudo bem pessoal? Para resolver essa questão basta lembrar que f (A) é o valor que a função f assume quando x = A . Certo?

Então para calcular o que se pede, vamos calcular f ( x + h ) e f ( x ) e depois resolver:

(f (x + h) - f (x))/(h)

Certo? Vamos lá?

Passo 2

Primeiro f ( x ) :

f (x) = (1)/(x^2)

Isso mesmo! Temos a própria função! ;)

Passo 3

Agora fazendo f ( x + h ) :

f (x + h) = (1)/((x + h)^2)

Beleza?

Passo 4

Agora vamos juntar os resultados dos passos 2 e 3 e calcular (f (x + h) - f (x))/(h) :

(f (x + h) - f (x))/(h) = ((1)/((x + h)^2) - (1)/(x^2))/(h)

Vamos fazer o m . m . c no numerador separadamente pra não complicar:

(1)/((x + h)^2) - (1)/(x^2) = (x^2 - (x + h)^2)/(x^2 (x + h)^2) = (x^2 - x^2 - 2 x h - h^2)/(x^2 (x + h)^2)

E simplificar a expressão do lado direito o máximo que der:

(- 2 x h - h^2)/(x^2 (x + h)^2)

Certo? Agora podemos calcular (f (x + h) - f (x))/(h) :

(f (x + h) - f (x))/(h) = (( - 2 x h - h^2 ) // ( x^2 (x + h)^2 ))/(h) = (- 2 x h - h^2)/(x^2 (x + h)^2) . ((1)/(h)) = - (2 x + h)/(x^2 (x + h)^2)

Ok? Essa é a resposta! Vamos pra próxima questão?

Resposta

- (2 x + h)/(x^2 (x + h)^2)

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