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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 3.Revisão - Ex. 76

Uma partícula move-se numa reta, de acordo com a equação s = a + b t 2 ; onde a e b são constantes positivas. Prove que a medida da aceleração é inversamente proporcional a s 3 para todo t.

Passo 1

Certo, como o enunciado nos pede a aceleração, precisaremos derivar a equação de movimento duas vezes:

d s d t = d d t a + b t 2

Para a primeira derivada vamos aplicar a Regra da Cadeia:

d d t a + b t 2 = 1 2 a + b t 2 d d t ( a + b t 2 )

Resolvendo a derivada que apareceu, o resultado será:

v = d d t a + b t 2 = b t a + b t 2

E essa será a velocidade da partícula

Passo 2

Agora vamos derivar mais uma vez para encontrarmos a aceleração:

d v d t = d d t b t a + b t 2

Aplicando a Regra do Quociente:

d d t b t a + b t 2 = d d t b t a + b t 2 - b t d d t a + b t 2 a + b t 2 2

Resolvendo as derivadas:

d d t b t = b

E no caso da última, nós já temos o resultado do Passo 1:

d d t a + b t 2 = b t a + b t 2

E então a aceleração será:

a c = d d t b t a + b t 2 = b a + b t 2 - b t 2 a + b t 2 a + b t 2

Reescrevendo:

a c = b ( a + b t 2 ) - b t 2 a + b t 2 a + b t 2

a c = b ( a + b t 2 ) - b t 2 a + b t 2 3 2

a c = b a a + b t 2 3 2

Passo 3

Se reescrevermos a aceleração poderemos perceber que ela pode ser escrita como função do deslocamento s:

a c = b a a + b t 2 1 2 3

Mas s é:

s = a + b t 2 1 2

Substituindo:

a c = b a s 3

E então a aceleração é inversamente proporcional a s ao cubo para todo t.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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