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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 3.Revisão - Ex. 71

Em um lago grande, um peixe predador alimenta-se de um peixe menor e a população de predadores em qualquer época é uma função do número de peixes pequenos no lago, naquele período de tempo. Suponha que quando há x peixes pequenos no lago, a população de predadores é y e y = 1 4 x 2 + 80 . Se a temporada de pesca terminou t semanas atrás, x = 8 t + 90 . A que taxa a população do peixe predador estará crescendo 9 semanas após o término da temporada de pesca? Não expresse y em termos de t, mas use a regra da cadeia .

Passo 1

O enunciado nos diz que o número de peixes predadores depende do número de peixes pequenos, e esse número depende da função x = 8 t + 90 , sendo t as semanas após a temporada de pesca. Como é pedido a taxa de crescimento peixes predadores, vamos precisar derivar a função y:

d y d x = d d x 1 4 x 2 + 80

d y d x = 1 2 x

Passo 2

Mas sabemos que x depende de t, e para calcularmos a taxa de peixes predadores, precisaremos saber o número após 9 semanas e a taxa de crescimento dos peixes pequenos. Fazendo então a derivada de x com relação a t:

d x d t = d d t ( 8 t + 90 )

d x d t = 8

E calculando o número de peixes após 9 semanas:

x = 8 t + 90

x = 72 + 90 = 162

Passo 3

Agora precisamos usar a Regra da Cadeia para calcularmos a taxa de y:

d y d t = d y d x . d x d t = 1 2 x . 8 = 4 x

E após 9 semanas, a taxa de predadores será:

d y d t = 4.162 = 648

Resposta

d y d t = 64 8

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