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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 1.2 - Ex. 19

Sua piscina, contendo 60.000 galões (cerca de 273.000 litros) de água, foi contaminada por 5   k g de uma tinta não tóxica que deixa a pele de um nadador com uma cor verde, nada atraente. O sistema de filtragem da piscina pode retirar a água, remover a tinta e devolver a água para a piscina a uma taxa de 200   g a l / m i n .

  1. Escreva o problema de valor inicial para o processo de filtragem; seja q t a quantidade de tinta na piscina em qualquer instante t .
  2. Resolva o problema encontrado em (a).
  3. Você convidou diversas dúzias de amigos para uma festa em torno da piscina que está marcada para começar em 4 horas. Você já verificou que o efeito da tinta é imperceptível se a concentração é menor do que 0,02   g / g a l . Seu sistema de filtragem é capaz de reduzir a concentração de tinta a esse nível dentro de 4 horas?
  4. Encontre o instante T em que a concentração de tinta alcança, pela primeira vez, o valor de 0,02   g / g a l .
  5. Encontre a taxa do fluxo de água que é suficiente para obter a concentração de 0,02   g / g a l dentro de 4 horas.

Passo 1

Para resolvermos esse problema vamos analisar as informações dadas no enunciado e tentar descrever uma equação que satisfaça todos os requisitos do problema. Depois vamos aplicar as condições de contorno de cada item para encontrar as informações pedidas. Vamos juntos para resolver!!

Passo 2

  1. Bom, vamos lá. O enunciado nos pede para montar a equação diferencial para o problema. Vamos supor inicialmente que não há mais tinta entrando na piscina. Assim, temos que apenas terá a quantidade da filtragem que estará saindo. Vemos que a taxa que a tinta é filtrada é dada por 200 g a l m i n u t o ⋅ q t 60.000   g a l = 1 300 ⋅ q t   g / m i n . Assim, nossa equação diferencial ficará da forma

    2. d q d t = - 1 300 ⋅ q t

    Se analisarmos nossa condição inicial, temos que a quantidade inicial de tinta é de 5   k g . Assim, temos que nossa equação será

    d q d t = - 1 300 ⋅ q t ,     q 0 = 5000   g

    Passo 3

  2. Para resolvermos, vamos reescrever a equação da forma separável. Temos então que:

    3. d q d t = - 1 300 ⋅ q t

    1 q ⋅ d Q = - 1 300 ⋅ d t

    Integrando de ambos os lados, temos que

    ln ⁡ q t = - 1 300 ⋅ t + ln ⁡ | C |

    Aplicando exponencial de ambos os lados, chegamos em

    q t = C ⋅ e - 1 300 t

    Com a condição de contorno de Q 0 = 0

    C = 5000   g

    Então nossa equação fica

    q t = 5000 ⋅ e - 1 300 t

    Passo 4

  3. Para descobrirmos se a bomba de filtragem é capaz de fazer isso, vamos ver quanto de tinta tem na piscina após 4 horas. Transformando horas em minutos, temos que isso nos dá

    4. 4   h o r a s = 60   m i n u t o s ⋅ 4 = 240   m i n u t o s

    Substituindo na nossa equação

    q 240 = 5000 ⋅ e - 1 300 ⋅ 240 = 224 6 , 6 4   g

    Agora vamos descobrir qual a concentração. Basta dividirmos a quantidade de tinta pela quantidade de água na piscina, ou seja:

    2.246,64   g 60.000   g a l = 0,0374   g / g a l

    Ou seja, 4 horas não é o bastante para tornar imperceptível a quantidade de tinta.

    Passo 5

  4. Primeiramente vamos encontrar quantas gramas de tinta essa concentração tem. Precisamos calcular

    5. c o n c e n t r a ç ã o = q t d e   t i n t a q t d e   d e   á g u a

    q t d e   d e   t i n t a = 0,02 ⋅ 60.000 = 1.200   g

    Agora precisamos isolar t na equação e substituir esse valor encontrado. Vamos lá!

    q t = 5000 ⋅ e - 1 300 t

    ln ⁡ q t 5000 = - 1 300 ⋅ t

    t = - 300 ⋅ ln ⁡ 1.200 5.000 = 7,14   h o r a s

    Passo 6

  5. Para encontrarmos esse fluxo vamos precisar fazer uma suposição na nossa EDO. Suponha o termo f para taxa de fluxo na equação diferencial.

d q d t = - f 60.000 ⋅ q t

Resolvendo a equação vamos chegar que

q t = 5000 ⋅ e - f 60.000 t  

Se substituirmos os valores t = 240   m i n u t o s = 4   h o r a s e q t = 1200   g , que nos da a concentração de 0,02   g / g a l , vamos obter a seguinte equação:

1200   g = 5000 ⋅ e - f ⋅ 240 60.000

Aplicando o l n , vamos ter

ln ⁡ 1200 5000 = - f ⋅ 240 60.000

f = 357   g a l / m i n

Resposta

  1. d q d t = - 1 300 ⋅ q t ,     q 0 = 5000   g
  2. q t = 5000 ⋅ e - 1 300 t
  3. 0,0374   g / g a l
  4. t = 7,14   h o r a s
  5. f = 357   g a l / m i n
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