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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 4.2 - Ex. 25

25. 18 y^(' ' ') + 21 y^(' ') + 14 y^' + 4 y = 0

Passo 1

Para começar esse problema, podemos comparar a EDO que temos que resolver com a equação característica...

18 r^3 + 21 r^2 + 14 r + 4 = 0

Essa equação característica é um pouquinho mais chata, pois infelizmente não é fácil de descobrir as raízes dela por Briot Rufini . Como o próprio Boyce sabe disso, ele nos sugeriu nessa questão que utilizemos um recurso computacional. Então usando aqui o WolframAlpha para resolver essa equação, obteremos...

r_1 = - 1 // 2

E as raízes complexas conjugadas...

r_2 = - (1)/(3) + (sqrt(3))/(3) i e r_3 = - (1)/(3) - (sqrt(3))/(3) i

Passo 2

Beleza, então podemos montar a solução dessa EDO de acordo com os valores de r . Vamos nessa?

Vamos começar montando as soluções fundamentais para dada r :

  • Para r_1 = - 1 // 2 como ele é real...

    • y_1 = e^(r_1 t) = e^(- (1)/(2) t)

  • Para r_2 = - (1)/(3) + (sqrt(3))/(3) i , por complexa do tipo (a + b i) ...

    • y_2 = e^(a t) sin b t = e^(- (1)/(3) t) sin (sqrt(3))/(3) t

  • Para r_3 = - (1)/(3) - (sqrt(3))/(3) i , por ser imaginário também e conjugado do anterior...

y_3 = e^(a t) cos b t = e^(- (1)/(3) t) cos (sqrt(3))/(3) t

A solução geral então pode ser dada por...

y = c_1 y_1 + c_2 y_2 + c_3 y_3 ->

y = c_1 e^(- (1)/(2) t) + c_2 e^(- (1)/(3) t) sin (sqrt(3))/(3) t + c_3 e^(- (1)/(3) t) cos (sqrt(3))/(3) t

Onde c ’s representam as constantes que dependem das condições iniciais!

Resposta

y = c_1 e^(- (1)/(2) t) + c_2 e^(- (1)/(3) t) sin (sqrt(3))/(3) t + c_3 e^(- (1)/(3) t) cos (sqrt(3))/(3) t

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