25. 18 \* y''' + 21 \* y'' + 14 \* y' + 4 \* y = 0

Passo 1

Para começar esse problema, podemos comparar a EDO que temos que resolver com a equação característica...

18 r 3 + 21 r 2 + 14 r + 4 = 0

Essa equação característica é um pouquinho mais chata, pois infelizmente não é fácil de descobrir as raízes dela por Briot Rufini . Como o próprio Boyce sabe disso, ele nos sugeriu nessa questão que utilizemos um recurso computacional. Então usando aqui o WolframAlpha para resolver essa equação, obteremos...

r 1 = - 1 / 2

E as raízes complexas conjugadas...

r 2 = - 1 3 + 3 3 i           e               r 3 = - 1 3 - 3 3 i

Passo 2

Beleza, então podemos montar a solução dessa EDO de acordo com os valores de r . Vamos nessa?

Vamos começar montando as soluções fundamentais para dada r :

  • Para r 1 = - 1 / 2 como ele é real...
  • y 1 = e r 1 t = e - 1 2 t

  • Para r 2 = - 1 3 + 3 3 i , por complexa do tipo a + b i ...
  • y 2 = e a t sin ⁡ b t = e - 1 3 t sin ⁡ 3 3 t

  • Para r 3 = - 1 3 - 3 3 i , por ser imaginário também e conjugado do anterior...

y 3 = e a t cos ⁡ b t = e - 1 3 t cos ⁡ 3 3 t

A solução geral então pode ser dada por...

y = c 1 y 1 + c 2 y 2 + c 3 y 3   →

y = c 1 e - 1 2 t + c 2 e - 1 3 t sin ⁡ 3 3 t + c 3 e - 1 3 t cos ⁡ 3 3 t

Onde c ’s representam as constantes que dependem das condições iniciais!

Resposta

y = c 1 e - 1 2 t + c 2 e - 1 3 t sin ⁡ 3 3 t + c 3 e - 1 3 t cos ⁡ 3 3 t

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