Se

1. Em quais pontos, se houver, o gráfico de tem um máximo local,um mínimo local ou um ponto de inflexão?
2. Esboce a forma geral do gráfico.

Determinaremos agora . Mas antes disso vamos simplificar , ou seja,

Dessa forma , pela regra da diferença temos que

Como já determinamos podemos verificar se ela possui pontos inflexão, para isso faremos , ou seja,

Note que e a igualdade acima é satisfeita. Sendo assim, temos dois candidatos a ponto de inflexão, vamos verificar se há mudança de sinal nas proximidades de cada um deles.

Perceba que, para valores dentro do intervalo , assume valores negaitivos (tem concavidade para baixo). E para valores dentro do intervalo , irá assumir valores positivos ( tem concavidade para cima). Logo, é um ponto de inflexão no intervalo de ou seja, possui uma mudança de concavidade nesse ponto.

Já, para valores dentro do intervalo , assume valores positivos (tem concavidade para cima). E para valores dentro do intervalo , irá assumir valores negativos ( tem concavidade para baixo). Logo, é um ponto de inflexão no intervalo de ou seja, possui uma mudança de concavidade nesse ponto.

Desejamos encontrar a foma geral do gráfico, porém, no enunciado só foi dado informações sobre a derivada de ou seja,

Precisamos encontrar uma forma de voltar a função original, e quem vai nos ajudar com isso será a integral, pois por definição a integral é um anti-derivada. Sendo assim,

A constante está sendo levada em consideração pois estamos com uma integral indefinida, porém como desejamos em sua forma original consideraremos . Sendo assim,

Cuja forma geral do gráfico é,

Onde,

Os pontos laranja correspondem aos pontos de inflexão e

Os pontinhos verdes correspondem as raízes de

O ponto cinza corresponde ao ponto de máximo ().