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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 4.3 - Ex. 58

55-60. Usando a regra de L’Hôpital (Seção 3.6), podemos conferir que:

lim x → + ∞ ⁡ ln ⁡ x x r = 0 ,   lim x → + ∞ ⁡ x r ln ⁡ x = + ∞ ,   lim x → 0 + ⁡ x r ln ⁡ x = 0

Com qualquer número real positivo r . Nestes exercícios:

a) Use esses limites, se necessário, para obter os limites de f x quando x → ∞ e x → 0 + .

b) Esboce o gráfico de f x e identifique todos os extremos relativos, os pontos de inflexão e as assíntotas (conforme o caso). Configura seu trabalho com um recurso gráfico.

58. f x = ln ⁡ x 2 + 1

Passo 1

a) Então galera, para calcularmos os limites com x tendendo a + ∞ e com x tendendo a 0 + , caso não haja necessidade de utilizar L’Hôpital, basta aplicarmos os limites, ok? A função que nos foi dada é:

f x = ln ⁡ x 2 + 1

Calculando o primeiro limite, teremos:

lim x → + ∞ ⁡ ln ⁡ x 2 + 1 = + ∞

Por fim, calculando o segundo:

lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ x 2 + 1 = 0

Ok, a primeira parte foi finalizada! Do resultado que encontramos podemos concluir que nosso gráfico não possui assíntotas significativas.

Passo 2

b) Caso não se lembre, para identificarmos os pontos de extremos relativos de uma função devemos fazer uma análise dos pontos críticos da mesma, isto é, analisar os pontos em que f ' x = 0 ou os pontos em que f ' x não existe! Ademais, para identificarmos os pontos de inflexão devemos fazer a mesma análise dos extremos, mas agora para f ' ' x = 0 , ok? Vamo que vamo!

Derivando a nossa função, teremos:

f ' x = 2 x x 2 + 1

Igualando a nossa derivada a zero, teremos:

2 x x 2 + 1 = 0

A única forma disso dar zero é se:

2 x = 0

x = 0

Então esse é nosso único ponto de extremo, galera!

Passo 3

Os pontos de inflexão de uma função são os pontos no qual a função muda de concavidade, ou seja, sai de f ' ' x > 0 e vira f ' ' x < 0 e vice-versa! Derivando a nossa derivada, teremos:

f ' ' x = 2 . x 2 + 1 - 2 x . 2 x x 2 + 1 2

f ' ' x = 2 x 2 + 2 - 4 x 2 x 2 + 1 2 = - 2 x 2 + 2 x 2 + 1 2

Igualando a nossa derivada a zero, teremos:

- 2 x 2 + 2 x 2 + 1 2 = 0

A única forma disso dar zero é se:

2 - 2 x 2 = 0

x 2 = 1

x = ± 1

Então esses são nossos pontos de inflexão, galera!

Passo 4

Substituindo na nossa função original os valores importantes de x que encontramos, teremos:

f 0 = 0

f 1 = ln ⁡ 2

f - 1 = ln ⁡ 2

Show! Por fim, plotando o gráfico da função, teremos:

E pelo gráfico notamos que:

x = 0 → P o n t o   d e   m í n i m o

x = 1   e   x = - 1 → P o n t o s   d e   i n f l e x ã o

E está aí nossa resolução! 😉

Resposta

a) lim x → + ∞ ⁡ y = + ∞

lim x → 0 + ⁡ y = 0

b) Ponto(s) de extremo(s) relativo(s): x = 0 ;

Ponto(s) de inflexão: x = ± 1 ;

Gráfico:

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