Enunciado

No problema 3, determine a equação do movimento se a força externa for f t = e - t . s e n ( 4 t ) . Analise o deslocamento quando t → ∞ .

Passo 1

Bora lá meu jovem

Temos que montar o nosso PVI com as informações do exercício 3 mas com um f ( t ) diferente

Seguindo a equação (2) do seu livro:

d 2 x d t 2 + β m d x d t + k m x = f t m

No nosso caso, temos β = 8 , m = 1 k g , k = 16   N / m e f t = e - t . s e n ( 4 t ) , então:

d 2 x d t 2 + 8 d x d t + 16 x = f t = e - t . s e n ( 4 t )

Como ele não dá informações de condições iniciais, consideramos

x 0 = 0

x ' 0 = 0

Agora temos que resolver esse PVI, fechou?

Passo 2

Temos

d 2 x d t 2 + 8 d x d t + 16 x = f t = e - t . s e n ( 4 t )

x 0 = 0

x ' 0 = 0

Daí, temos

x c = c 1 . e - 4 t + c 2 . t . e - 4 t

E

x p = - 24 625 . e - t . cos ⁡ 4 t - 7 625 . e - t . s e n ( 4 t )

Portanto:

x t = x c + x p

x t = 1 625 e - 4 t . 24 + 100 t - 1 625 . e - t . 24 cos ⁡ 4 t + 7 s e n 4 t

E encontramos nossa equação do movimento :D

Passo 3

Agora vamos analisar nossa equação de movimento quando t → ∞ :

lim t → ∞ ⁡ 1 625 e - 4 t . 24 + 100 t - 1 625 . e - t . 24 cos ⁡ 4 t + 7 s e n 4 t

Quando t → ∞ , os termos e - 4 t e e - t tendem a 0 e acabam zerando geral, então:

lim t → ∞ ⁡ 1 625 e - 4 t . 24 + 100 t - 1 625 . e - t . 24 cos ⁡ 4 t + 7 s e n 4 t = 0

Quando t cresce muito, a equação de movimento tende a 0

Resposta

x t = 1 625 e - 4 t . 24 + 100 t - 1 625 . e - t . 24 cos ⁡ 4 t + 7 s e n 4 t

lim t → ∞ ⁡ x ( t ) = 0

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