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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 5.3 - Ex. 1

Uma massa de 0,5 kg é atada a uma mola que tem constante de elasticidade igual a 6 N/m. A massa parte do repouso 2 m abaixo da posição de equilíbrio e o movimento subsequente está sujeito a uma força de amortecimento igual à metade da velocidade instantânea. Encontre a equação de movimento se o peso sofre a ação de uma força externa igual a f t = 10 . cos ⁡ 3 t

Passo 1

E vamosssss lá!

Seguindo a equação (2) do seu livro:

d 2 x d t 2 + β m d x d t + k m x = f t m

No nosso caso, temos β = 1 2 , m = 0,5   k g = 1 2 k g , k = 6   N / m e f t = 10 . cos ⁡ 3 t , então:

d 2 x d t 2 + 1 2 1 2 d x d t + 6 1 2 x = 10 . cos ⁡ 3 t 1 2

d 2 x d t 2 + d x d t + 12 x = 2 0 . cos ⁡ 3 t

Dividindo tudo por 2:

1 2 d 2 x d t 2 + 1 2 d x d t + 6 x = 10 . cos ⁡ 3 t

E aí ele fala que “A massa parte do repouso 2 m abaixo da posição de equilíbrio”

Então

x 0 = - 2

x ' 0 = 0

Agora temos que resolver esse PVI, fechou?

Passo 2

Temos

1 2 d 2 x d t 2 + 1 2 d x d t + 6 x = 10 . cos ⁡ 3 t

x 0 = - 2

x ' 0 = 0

Daí, temos

x c = e - t 2 . c 1 cos ⁡ 47 2 t + c 2 . s e n 47 2 t

E

x p = 10 3 . cos ⁡ 3 t + s e n 3 t

Portanto:

x t = e - t 2 . - 4 3 cos ⁡ 47 2 t - 64 3 47 . s e n 47 2 t + 10 3 . cos ⁡ 3 t + s e n 3 t

E encontramos nossa equação do movimento :D

Resposta

x t = e - t 2 . - 4 3 cos ⁡ 47 2 t - 64 3 47 . s e n 47 2 t + 10 3 . cos ⁡ 3 t + s e n 3 t

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