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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 4.Exercícios de Revisão - Ex. 12

Nos problemas 11 e 12, encontre uma segunda solução para a equação diferencial se y 1 x é uma dada solução.

12. x y ' ' - 2 x + 1 y ' + x + 2 y = 0 ,   y 1 = e x

Passo 1

Então galera, para encontrarmos uma segunda solução de uma equação diferencial a partir de uma solução conhecida precisamos utilizar essa fórmula aqui ó:

y 2 = y 1 x ∫ e - ∫ P x d x y 1 2 x d x

No qual P x é o termo que acompanha y ' na equação diferencial, ou seja, se tivermos uma equação diferencial do tipo:

y ' ' + 2 x y ' - 8 y = 4 e x

Teremos que P x será 2 x , sacou? Show! A equação diferencial que nos foi dada é:

x y ' ' - 2 x + 1 y ' + x + 2 y = 0

Dividindo tudo por x :

y ' ' - 2 1 + 1 x y ' + 1 + 2 x y = 0

O que nos dá:

P x = - 2 - 2 x

Então bora substituir isso na fórmula!

Passo 2

Substituindo P x = - 2 - 2 x e y 1 = e x na fórmula, teremos:

y 2 = e x ∫ e - ∫ - 2 - 2 x d x e 2 x d x

Resolvendo a integral do expoente de e , teremos:

∫ - 2 - 2 x d x = - 2 x - 2 ln ⁡ x

Logo:

y 2 = e x ∫ e 2 x + 2 ln ⁡ x e 2 x d x

y 2 = e x ∫ x 2 d x

Show!

Passo 3

Agora resolvendo a segunda integral, teremos:

∫ x 2 d x = x 3 3

Então nosso resultado final será:

y 2 = e x . 1 3 x 3

y 2 = 1 3 x 3 e x

E está aí uma segunda solução para nossa equação diferencial, galera! 😉

Resposta

y 2 = 1 3 x 3 e x

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Verifique que y = 1 x é uma solução para a equação diferencial não-linear y ' ' = 2 y 3 no intervalo ( 0 ,∞ ) .Mostre que um múltiplo y = c / x não é uma solução para a equação quando c ≠ 0 , ± 1 .
Nos problemas 13-18, encontre a solução geral para cada equação diferencial.16. 2 y ' ' ' + 9 y ' ' + 12 y ' + 5 y = 0
Nos problemas 13-18, encontre a solução geral para cada equação diferencial.18. 2 y ' ' ' ' + 3 y ' ' ' + 2 y ' ' + 6 y ' - 4 y = 0
No método dos coeficientes indeterminados, a forma da solução particular y p para y ' ' - y = 1 + e x é __________.