Nos problemas 11 e 12, encontre uma segunda solução para a equação diferencial se y 1 x é uma dada solução.

12. x y ' ' - 2 x + 1 y ' + x + 2 y = 0 ,   y 1 = e x

Passo 1

Então galera, para encontrarmos uma segunda solução de uma equação diferencial a partir de uma solução conhecida precisamos utilizar essa fórmula aqui ó:

y 2 = y 1 x ∫ e - ∫ P x d x y 1 2 x d x

No qual P x é o termo que acompanha y ' na equação diferencial, ou seja, se tivermos uma equação diferencial do tipo:

y ' ' + 2 x y ' - 8 y = 4 e x

Teremos que P x será 2 x , sacou? Show! A equação diferencial que nos foi dada é:

x y ' ' - 2 x + 1 y ' + x + 2 y = 0

Dividindo tudo por x :

y ' ' - 2 1 + 1 x y ' + 1 + 2 x y = 0

O que nos dá:

P x = - 2 - 2 x

Então bora substituir isso na fórmula!

Passo 2

Substituindo P x = - 2 - 2 x e y 1 = e x na fórmula, teremos:

y 2 = e x ∫ e - ∫ - 2 - 2 x d x e 2 x d x

Resolvendo a integral do expoente de e , teremos:

∫ - 2 - 2 x d x = - 2 x - 2 ln ⁡ x

Logo:

y 2 = e x ∫ e 2 x + 2 ln ⁡ x e 2 x d x

y 2 = e x ∫ x 2 d x

Show!

Passo 3

Agora resolvendo a segunda integral, teremos:

∫ x 2 d x = x 3 3

Então nosso resultado final será:

y 2 = e x . 1 3 x 3

y 2 = 1 3 x 3 e x

E está aí uma segunda solução para nossa equação diferencial, galera! 😉

Resposta

y 2 = 1 3 x 3 e x

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