Enunciado

Nos problemas 1-22, resolva a equação diferencial dada.

x 3 y ' ' ' + x y ' - y = 0

Passo 1

E aí, tudo beleza?

Olha só, a gente quer resolver essa EDO de segunda ordem aqui:

x 3 y ' ' ' + x y ' - y = 0

Temos aqui uma equação homogênea. Pra resolver esse tipo de equação, escrevemos y = x m , que é a forma da nossa resposta.

Bom, aí vamos ter:

y ' = m x m - 1

y ' ' = m m - 1 x m - 2

y ' ' ' = m m - 1 m - 2 x m - 3  

Agora a gente vai substituir na EDO e tentar encontrar m , bora!

Passo 2

Substituindo, vamos ter:

x 3 y ' ' ' + x y ' - y = 0

x 3 m m - 1 m - 2 x m - 3   + x m x m - 1 - x m = 0

x m m 3 - 3 m 2 + 2 m + m x m - x m = 0

x m m 3 - 3 m 2 + 3 m - 1 = 0

Daqui a gente tem que     m 3 - 3 m 2 + 3 m - 1 = 0 , já que x m ≠ 0 sempre. E resolvendo isso...

Passo 3

Resolvendo...

m 3 - 3 m 2 + 3 m - 1

m - 1 3 = 0

m = 1

Temos então três raízes iguais! Nossa solução vai ter a forma:

y = c 1 x m 1 + c 2 x m 1 ln ⁡ x + c 3 x m 3 ln 2 ⁡ x

A nossa solução vai ser:

y = c 1 x + c 2 x ln ⁡ x + c 3 x ln 2 ⁡ x

E prontinho! 😉

Resposta

y = c 1 x + c 2 x ln ⁡ x + c 3 x ln 2 ⁡ x

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Em cada um dos problemas de 1 a 6, encontre valores aproximados da soluçãodo problema de valor inicial dado em t = 0,1; 0,2; 0,3 e 0,4. Compare osresultados comos obtidos pelométodo de Euler e pelomét
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