Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 6.1 - Ex. 20

Nos problemas 1-22, resolva a equação diferencial dada.

x 3 d 3 y d x 3 - 2 x 2 d 2 y d x 2 + 4 x d y d x - 4 y = 0

Passo 1

E aí, tudo beleza?

Olha só, a gente quer resolver essa EDO de segunda ordem aqui:

x 3 d 3 y d x 3 - 2 x 2 d 2 y d x 2 + 4 x d y d x - 4 y = 0

Temos aqui uma equação homogênea. Pra resolver esse tipo de equação, escrevemos y = x m , que é a forma da nossa resposta.

Bom, aí vamos ter:

y ' = m x m - 1

y ' ' = m m - 1 x m - 2

y ' ' ' = m m - 1 m - 2 x m - 3  

Agora a gente vai substituir na EDO e tentar encontrar m , bora!

Passo 2

Substituindo, vamos ter:

x 3 d 3 y d x 3 - 2 x 2 d 2 y d x 2 + 4 x d y d x - 4 y = 0

x 3 m m - 1 m - 2 x m - 3   - 2 x 2 m m - 1 x m - 2 + 4 x m x m - 1 - 4 x m = 0

x m m 3 - 3 m 2 + 2 m - 2 m 2 + 2 m + 4 m - 4 = 0

x m m 3 - 5 m 2 + 8 m - 4 = 0

Daqui a gente tem que m 3 - 5 m 2 + 8 m - 4 = 0 , já que x m ≠ 0 sempre. E resolvendo isso...

Passo 3

Resolvendo...

m 3 - 5 m 2 + 8 m - 4 = 0

m - 1 m - 2 2 = 0

m 1 = 1 ;     m 2 = 2 ;     m 3 = 2

Temos duas raízes iguais e uma diferente, então a solução é da forma:

y = c 1 x m 1 + c 2 x m 2 + c 3 x m 3 ln ⁡ x

Então a nossa solução é:

y = c 1 x + c 2 x 2 + c 3 x 2 ln ⁡ x

E terminamos! 😉

Resposta

y = c 1 x + c 2 x 2 + c 3 x 2 ln ⁡ x

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Nos problemas 29-34, usando variação dos parâmetros. x 2 y ' ' - 2 x y ' + 2 y = x 4 e x
Nos problemas 23-26, resolva a equação diferencial dada sujeita às condições iniciais indicadas. x 2 y ' ' + x y ' + y = 0 ; y 1 = 1 , y ' 1 = 2
Nos problemas 29-34, usando variação dos parâmetros. 2 x 2 y ' ' + 5 x y ' + y = x 2 - x
Nos problemas 29-34, usando variação dos parâmetros. x 2 y ' ' - x y ' + y = 2 x