Enunciado

Nos problemas 1-24, resolva cada equação diferencial pelo método da variação dos parâmetros. Defina um intervalo no qual a solução geral seja válida.

11. y ' ' + 3 y ' + 2 y = 1 1 + e x

Passo 1

Então pessoal, para resolvermos uma equação diferencial pelo método da variação dos parâmetros precisamos, assim como já estamos acostumados, encontrar duas soluções: a solução complementar e a solução particular. A solução complementar é encontrada da maneira que já conhecemos mesmo, encontrando as raízes da equação característica. Já para encontrarmos a solução particular devemos fazer o seguinte:

Uma vez que encontramos a solução complementar teremos que a função que acompanha c 1 é y 1 , a função que acompanha c 2 é y 2 e a função de x que fica na direita da nossa equação diferencial é f x . Identificado isso, precisamos resolver os determinantes Wronskianos abaixo:

W = y 1 y 2 y 1 ' y 2 '

W 1 = 0 y 2 f x y 2 '

W 2 = y 1 0 y 1 ' f x

Feito isso, depois precisamos integrar as seguintes funções:

u 1 ' = W 1 W   e   u 2 ' = W 2 W

Pois a nossa solução particular vai ter o seguinte formato:

y p = u 1 y 1 + u 2 y 2

Pareceu difícil, galera? Então bora descomplicar isso aí! Praticando alguns exercícios tenho certeza que a ideia vai ficar muuuito mais clara! Chega mais!

Passo 2

Assim como comentamos no passo anterior, a primeira coisa a se fazer é encontrar y c , certo? Show! Nossa equação é:

y ' ' + 3 y ' + 2 y = 1 1 + e x

Fazendo as substituições y ' ' = m 2 ,   y ' = m   e   y = 1 , teremos:

m 2 + 3 m + 2 = 0

Aplicando Bháskara:

m = - b ± b 2 - 4 a c 2 a

m = - 3 ± 9 - 4 . 1.2 2 . 1 = - 3 ± 1 2

E então encontramos que:

m 1 = - 1

m 2 = - 2

Como as raízes são reais e distintas então teremos a seguinte solução complementar, galera:

y c = c 1 e m 1 x + c 2 e m 2 x

y c = c 1 e - x + c 2 e - 2 x

Que nos diz o seguinte:

y 1 = e - x

y 2 = e - 2 x

Topzeeera! Primeira etapa concluída!

Passo 3

Além das funções que identificamos no passo anterior, tendo em vista a equação diferencial que nos foi dada, tiramos que:

f x = 1 1 + e x

Então agora precisamos resolver os determinantes! Se liga:

W = y 1 y 2 y 1 ' y 2 ' = e - x e - 2 x - e - x - 2 e - 2 x = - 2 e - 3 x + e - 3 x = - e - 3 x

W 1 = 0 y 2 f x y 2 ' = 0 e - 2 x 1 1 + e x - 2 e - 2 x = - e - 2 x 1 + e x

W 2 = y 1 0 y 1 ' f x = e - x 0 - e - x 1 1 + e x = e - x 1 + e x

Agora que determinamos os determinantes, temos que os parâmetros variáveis serão:

u 1 ' = W 1 W = - e - 2 x 1 + e x - e - 3 x = e x 1 + e x

u 2 ' = W 2 W = e - x 1 + e x - e - 3 x = e x 1 + e x - e x

Show! Agora só falta integramos isso aí para encontrarmos u 1   e   u 2 !

Passo 4

Integrando u 1 ' , teremos:

u 1 = ∫ e x 1 + e x d x = ln ⁡ 1 + e x

Agora integrando u 2 ' , teremos:

u 2 = ∫ e x 1 + e x - e x d x = ln ⁡ 1 + e x - e x

Logo, tiramos que nossa solução particular será:

y p = u 1 y 1 + u 2 y 2

y p = ln ⁡ 1 + e x . e - x + ln ⁡ 1 + e x - e x . e - 2 x

Sendo assim, concluímos que nossa solução geral é a seguinte:

y = y c + y p

y = c 1 e - x + c 2 e - 2 x + ln ⁡ 1 + e x . e - x + ln ⁡ 1 + e x - e x . e - 2 x

Simplificando, teremos:

y = c 1 e - x + c 2 e - 2 x + ln ⁡ 1 + e x . 1 + e - x . e - x

E é isso, gente!

Resposta

y = c 1 e - x + c 2 e - 2 x + ln ⁡ 1 + e x . 1 + e - x . e - x

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