Enunciado

Nos problemas 1-32, resolva a equação diferencial dada pelo método dos coeficientes indeterminados.

30. y 4 - 4 y ' ' ' = 5 x 2 - e 2 x

Passo 1

Então pessoal, como resolver esses problemas do capítulo 4.6 pelo método dos coeficientes indeterminados? Pois bem, existe uma espécie de passo a passo a ser seguida que facilita bastante nossa vida na hora da resolução. Assim como já estamos acostumados, inicialmente encontramos a equação complementar y c fazendo as substituições y ' ' ' ' = m 4 ,   y ' ' ' = m 3 , y ' ' = m 2 ,   y ' = m   e   y = 1 na nossa equação diferencial. Aplicando na nossa equação, teremos:

y 4 - 4 y ' ' ' = 5 x 2 - e 2 x

m 4 - 4 m 3 = 0

Colocando m 3   em evidência:

m 3 m - 4 = 0

E então encontramos que:

m 1 = m 2 = m 3 = 0

m 4 = 4

Como temos raízes distintas e idênticas ao mesmo tempo, então teremos a seguinte solução complementar, galera:

y c = c 1 e m 1 x + c 2 x e m 2 x + c 3 x 2 e m 3 x + c 4 e m 4 x

y c = c 1 + c 2 x + c 3 x 2 + c 4 e 4 x

Show! Primeira etapa concluída. Guardemos esse resultado!

Passo 2

Chamando de g x o lado direito da nossa equação, então tiramos que:

g x = 5 x 2 - e 2 x

Aqui chegamos em um momento determinante da nossa resolução, pois precisamos aplicar um operador diferencial que anule g x . De acordo com o que vimos na seção em questão, quando temos uma função no formato a x 2 + b x + c o seguinte operador anula nossa função:

D n

No qual n é o expoente de x acrescido de uma unidade e D é o operador definido como D y = d y d x . No nosso caso temos n = 2 , logo nosso primeiro operador será:

D 3

E, por fim, quando temos uma função no formato e a x o seguinte operador anula nossa função:

D - a

No nosso caso temos a = 2 , logo nosso segundo operador será:

D - 2

Dessa forma nosso operador completo será D 3 D - 2 . Aplicando na nossa equação, teremos:

y 4 - 4 y ' ' ' = 5 x 2 - e 2 x

D 4 y - 4 D 3 y = 5 x 2 - e 2 x

D 4 - 4 D 3 y = 5 x 2 - e 2 x

D 3 D - 2 D 4 - 4 D 3 y = 0

E isso nos dá uma nova equação diferencial, viu só? Show de bola! (Ou não ☹)

Passo 3

Como temos uma nova equação diferencial, então vamos encontrar uma equação complementar para ela. Fazendo D 4 = m 4 ,   D 3 = m 3 ,   D 2 = m 2   e   D = m , teremos:

m 3 m - 2 m 4 - 4 m 3 = 0

Note que uma parte desse produto já foi resolvido no passo 1, então as raízes são:

m 1 = m 2 = m 3 = m 4 = m 5 = m 6 = 0

m 7 = 4

m 8 = 2

Dessa forma, conforme vimos no capítulo inteeeeiro, uma solução geral para nosso problema será a seguinte:

y = c 1 + c 2 x + c 3 x 2 + c 4 e 4 x + c 5 x 3 + c 6 x 4 + c 7 x 5 + c 8 e 2 x

Observe que o termo c 1 + c 2 x + c 3 x 2 + c 4 e 4 x é justamente a solução complementar que encontramos lá no passo 1. Sendo assim, podemos assumir que o que restou é a nossa solução particular, não é mesmo? Logo, teremos:

y p = A x 3 + B x 4 + C x 5 + D e 2 x

Aqui vale ressaltar que A = c 5 ,   B = c 6 ,   C = c 7   e   D = c 8 , beleza? Top! E então devemos encontrar y p ' ,   y p ' ' ,   y p ' ' '   e   y ' ' ' ' para substituirmos láááá na equação diferencial original para fazermos aquela análise de identidade que já estamos habituados. Sim, a resolução por esse método é bem longa!

Passo 4

Derivando nossa solução particular:

y p ' = 3 A x 2 + 4 B x 3 + 5 C x 4 + 2 D e 2 x

y p ' ' = 6 A x + 12 B x 2 + 20 C x 3 + 4 D e 2 x

y p ' ' ' = 6 A + 24 B x + 60 C x 2 + 8 D e 2 x

y p ' ' ' ' = 24 B + 120 C x + 16 D e 2 x

Substituindo na nossa equação original, teremos:

y 4 - 4 y ' ' ' = 5 x 2 - e 2 x

24 B + 120 C x + 16 D e 2 x - 4 6 A + 24 B x + 60 C x 2 + 8 D e 2 x = 5 x 2 - e 2 x

24 B + 120 C x + 16 D e 2 x - 24 A - 96 B x - 240 C x 2 - 32 D e 2 x = 5 x 2 - e 2 x

Como temos uma identidade isso nos dá que:

- 240 C = 5 24 B - 24 A = 0 120 C - 96 B = 0 - 16 D = - 1

E então encontramos que:

C = - 1 48

D = 1 16

A = B = - 15 576

Portanto temos que nossa solução geral final será:

y = c 1 + c 2 x + c 3 x 2 + c 4 e 4 x - 15 576 x 3 - 15 576 x 4 - 1 48 x 5 + 1 16 e 2 x

E essa é a nossa resolução, galera! 😉

Resposta

y = c 1 + c 2 x + c 3 x 2 + c 4 e 4 x - 15 576 x 3 - 15 576 x 4 - 1 48 x 5 + 1 16 e 2 x

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