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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 2.4 - Ex. 23

Nos problemas 1-24, verifique se a equação dada é exata. Se for, resolva.

4 x 3 y - 15 x 2 - y d x + x 4 + 3 y 2 - x d y = 0

Passo 1

Pra começar, vamos lembrar a definição de equação exata:

Temos que

M x , y d x + N x , y d y = 0

É uma equação exata se a expressão M x , y d x + N x , y d y for uma diferencial exata, ou seja, se:

∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x

Passo 2

Vamos verificar se a equação 4 x 3 y - 15 x 2 - y d x + x 4 + 3 y 2 - x d y = 0 é exata

Ela já está escrita no formato M x , y d x + N x , y d y = 0

Então, temos M x , y = 4 x 3 y - 15 x 2 - y e N x , y = x 4 + 3 y 2 - x

Agora precisamos usar aquela definição que vimos no passo 1, vamos lá

Passo 3

Pra comprovarmos aquilo do passo 1, vamos verificar se ∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x

Temos:

∂ M ∂ y = ∂ 4 x 3 y - 15 x 2 - y ∂ y

Derivando M em relação a y

∂ M ∂ y = 4 x 3 - 1

Agora pro ∂ N ∂ x :

∂ N ∂ x = ∂ ( x 4 + 3 y 2 - x ) ∂ x

∂ N ∂ x = 4 x 3 - 1

Então, temos

∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x = 4 x 3 - 1

Logo, nossa equação é exata ;) agora bora resolver

Passo 4

Temos

4 x 3 y - 15 x 2 - y d x + x 4 + 3 y 2 - x d y = 0

Com M x , y = 4 x 3 y - 15 x 2 - y e N x , y = x 4 + 3 y 2 - x

Para resolver, vamos supor

∂ f ∂ x = M ( x , y )

∂ f ∂ x = 4 x 3 y - 15 x 2 - y

Agora vamos integrar em relação a x , aí conseguimos encontrar o f

Vamos também acrescentar um g ( y ) que vai ser a constante de integração

f = ∫ 4 x 3 y - 15 x 2 - y   d x + g y

Resolvendo a integral:

f = 4 y . x 4 4 - 15 x 3 3 - x y + g y

f = y x 4 - 5 x 3 - x y + g y     ( I )

Passo 5

Temos

f = y x 4 - 5 x 3 - x y + g y     ( I )

Agora vamos derivar f em relação a y e igualar isso a N ( x , y )

∂ f ∂ y = x 4 - x + g ' ( y ) = N ( x , y )

Como N x , y = x 4 + 3 y 2 - x :

∂ f ∂ y = x 4 - x + g ' ( y ) = x 4 + 3 y 2 - x

Então:

g ' y = 3 y ²

Integrando em relação a y :

g y = y ³   ( I I )

Substituindo ( I I ) em ( I ) :

f = y x 4 - 5 x 3 - x y + y ³

A solução da equação diferencial exata é f x , y = c , então:

y x 4 - 5 x 3 - x y + y ³ = c

Resposta

É   e x a t a

y x 4 - 5 x 3 - x y + y ³   = c

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