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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 2.3 - Ex. 32

Nos problemas 31-44, resolva a equação diferencial dada sujeita à condição inicial indicada.

x 2 + 2 y 2 d x = x y   d y ,     y - 1 = 1

Passo 1

Opa, tudo beleza? Bora resolver essa equação!

Olha só, nesses casos a gente sempre faz uma substituição para transformar a equação em uma equação diferencial separável. A gente pode fazer y = u x     o u     x = v y .

Geralmente a gente usa a x = v y quando a parte M ( x , y ) (a que acompanha o d x ) é mais simples do que N   ( x , y ) , do contrário, usamos y = u x .

Olhando nossa equação...

x 2 + 2 y 2 d x = x y   d y

Vemos que a parte N ( x , y ) é mais simples, então vamos usar a substituição y = u x .

Passo 2

Vamos lá, se y = u x , temos d y = u   d x + x   d u . Vamos substituir isso na nossa equação então...

x 2 + 2 u 2 x 2 d x = u x 2 ( u   d x + x   d u )

x 2 d x + 2 u 2 x 2 d x = u 2 x 2 d x + u x 3 d u

x 2 d x + u 2 x 2 d x = u x 3 d u

d x + u 2 d x = u x   d u

d x 1 + u 2 = u x   d u

d x x = u 1 + u 2 d u

Temos uma EDO separável agora (que já está separada haha), só precisamos integrar os dois lados...

Passo 3

Integrando, ficamos com:

∫ d x x = ∫ u u 2 + 1 d u

ln ⁡ x = 1 2 ln ⁡ u 2 + 1 + C

ln ⁡ | x | - ln ⁡ u 2 + 1 1 2 = C

ln ⁡ x u 2 + 1 1 2 = e C  

x u 2 + 1 1 2 = C 1

x 2 u 2 + 1 = C 2

x 2 = C 2 u 2 + 1

Como y = u x , temos u = y x :

x 2 = C 2 y 2 x 2 + 1

Bom, chegamos a solução geral, mas a gente tem um problema de valor inicial, então temos que usar pra descobrir esse C 2 aí...

Passo 4

Bom, temos que y - 1 = 1 , então vamos substituir isso na equação:

x 2 = C 2 y 2 x 2 + 1

- 1 2 = C 2 1 2 - 1 2 + 1

1 = C 2 1 + 1

1 = 2 C 2

C 2 = 1 2

Então a solução da equação é:

x 2 = 1 2 y 2 x 2 + 1

Prontinho! 😉

Resposta

x 2 = 1 2 y 2 x 2 + 1

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Nos problemas 11-30, resolva a equação diferencial dada usando uma substituição apropriada. x + y d x + xd y = 0
Nos problemas 11-30, resolva a equação diferencial dada usando uma substituição apropriada. y 2 + y x d x + x 2 d y = 0