Suponha que Eq.(6) satifaz as condições do Teorema 2.6.1 em um retânculo R e é, portanto, exata. Mostre que uma função ψ ( x , y ) possível é ψ x , y = ∫ x 0 x M s , y 0 d s + ∫ y 0 y N x , t d t Em que x 0 , y 0 é um ponto em R .

Enunciado

O que o Teorema 2.6.1 tem a nos contar? Pois bem?

Suponha que as funções e , em que os índices denotam derivadas parciais, são com´tinuas em uma região retangular . Então a Eq.(6)

É uma equação diferencial exata em se, e somente se,

Em cada ponto de. Ou seja, existe uma função satisfazendo as Eqs. (7),

Se, e somente se, e satisfazem a Eq .

Como sugerido, partimos da Eq.(6), onde

Que são por natureza a mesma coisa que

Mas como devemos lembar que e já são derivadas da nossa função , ou seja

Usando a ideia de separação de variáveis, temos que

Assim integrando em ambos os lados em nosso retângulo, temos

Apenas para não complicar na hora de integrar, fazendo uma mudança de variável apenas para não confundir com os limites de integração, temos

Ei, a resposta está no passo a passo :)