Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 2.6 - Ex. 17
Suponha que Eq.(6) satifaz as condições do Teorema 2.6.1 em um retânculo e é, portanto, exata. Mostre que uma função possível é
Em que é um ponto em .
Passo 1
O que o Teorema 2.6.1 tem a nos contar? Pois bem?
Suponha que as funções e , em que os índices denotam derivadas parciais, são com´tinuas em uma região retangular . Então a Eq.(6)
É uma equação diferencial exata em se, e somente se,
Em cada ponto de. Ou seja, existe uma função satisfazendo as Eqs. (7),
Se, e somente se, e satisfazem a Eq .
Passo 2
Como sugerido, partimos da Eq.(6), onde
Que são por natureza a mesma coisa que
Mas como devemos lembar que e já são derivadas da nossa função , ou seja
Usando a ideia de separação de variáveis, temos que
Assim integrando em ambos os lados em nosso retângulo, temos
Apenas para não complicar na hora de integrar, fazendo uma mudança de variável apenas para não confundir com os limites de integração, temos
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)