Nos problemas 1-26, encontre as trajetórias ortogonais da família de curvas dada.

y = (x - c₁)²

Passo 1

E aí, tudo bem?

Olha só, para encontrar trajetórias ortogonais de uma dada família de curvas, primeiro a gente tem que encontrar a equação diferencial tal que:

d y d x = f ( x , y )

No nosso caso, temos:

y = x - c 1 2

d y d x = 2 ( x - c 1 )

Isolando c 1 na nossa EDO, temos c 1 = x - y . Aí a gente substitui isso na nossa derivada:

d y d x = 2 ( x - x - y

d y d x = 2 y

Passo 2

E aí a equação da família ortogonal é dada por:

d y d x =   - 1 f x , y

No nosso caso, temos:

d y d x =   - 1 2 y

E aí agora a gente vai resolver essa equação diferencial para encontrar a função y .

Passo 3

Separando a EDO, temos:

2 y d y =   - d x

Integrando os dois lados:

∫ 2 y   d y = ∫ - d x

4 3 y 3 2 = - x + C

4 3 y 3 2 + x = C

4 y 3 2 + 3 x = c 2

E essa é a família de trajetórias ortogonais 😉

Resposta

4 y 3 2 + 3 x = c 2

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