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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 2.Exercícios de Revisão - Ex. 11

Resolva y e^(x y) (d x)/(d y) + x e^(x y) = 12 y^2 sujeito a y (0) = - 1 .

Passo 1

Opa! Tudo beleza?

Bora resolver essa equação aí?

y e^(x y) (d x)/(d y) + x e^(x y) = 12 y^2

Vamos fazer uma substituição, u = x y , aí teremos:

(d u)/(d y) = x + y (d x)/(d y)

Aí a gente vai substituir isso na nossa EDO...

Passo 2

Substituindo aqui:

y e^(x y) (d x)/(d y) + x e^(x y) = 12 y^2

y e^u (((d u)/(d y) - x)/(y)) + x e^u = 12 y^2

e^u (d u)/(d y) - e^u x + x e^u = 12 y^2

e^u (d u)/(d y) = 12 y^2

e^u d u = 12 y^2 d y

Show! Chegamos a uma EDO separável (já separada, na verdade)...

Passo 3

Agora a gente vai integrar dos dois lados pra resolver...

int e^u d u = int 12 y^2 d y

e^u = 4 y^3 + C

e^u - 4 y^3 = C

Como u = x y , temos:

e^(x y) - 4 y^3 = C

Passo 4

Agora vamos usar o nosso valor inicial y (0) = - 1 para descobrir o C :

e^(x y) - 4 y^3 = C

e^0 - 4 (- 1)^3 = C

1 + 4 = C

C = 5

Então a solução do nosso PVI é:

e^(x y) - 4 y^3 = 5

Resposta

e^(x y) - 4 y^3 = 5

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