Enunciado
Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 3.1 - Ex. 36
Nos problemas 36-38, use os resultados do problema 35 para encontrar a família isogonal que intercepta a família a um parâmetro com o ângulo dado.
Passo 1
Na questão 35, provamos que
Então vamos usar essa fórmula para encontrar a família isogonal nesse problema
Pra começar, vamos encontrar derivando a função que ele deu:
Mas vamos isolar o na equação , pra aí podermos substituir na equação :
Substituindo:
Passo 2
Vamos substituir em , e vamos também substituir o ângulo dado no enunciado, que é
Então:
Agora é só resolver essa equação diferencial
Passo 3
Temos
Isso é uma EDO homogênea, então vamos chamar
E aí vamos calcular o novo usando a regra do produto, já que :
Substituindo na equação :
Fazendo MMC em :
Dividindo em cima e embaixo por :
Passo 4
Paramos aqui olha:
Agora o que vamos fazer é deixar tudo que é de um lado e tudo que é do outro. Pra isso vamos multiplicar em cruz, fechou?
Integrando dos dois lados:
Agora é hora de voltar pra variável , lembrando que :
Multiplicando tudo por 2:
E fimmm