Enunciado
Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 2.7 - Ex. 1
Nos problemas 1-26, resolva a equação diferencial dada usando uma substituição apropriada.
1.
Passo 1
Então pessoal, aqui a ideia é utilizar uma substituição que seja interessante pra gente facilitar nossa integração, tudo bem? Para a equação que nos foi dada, uma substituição interessante seria:
Derivando, teremos:
Se substituirmos na nossa equação diferencial, teremos:
Show!
Passo 2
O lado bom é que esse tipo de equação tem uma solução geral padrão, que é:
Sendo assim, o que precisamos fazer é definir quem é e quem é e depois resolver essas integrais. Do passo tiramos que:
Substituindo na solução geral, teremos:
Para as integrais dos expoentes temos que:
Substituindo na solução:
Simplificando:
Beleza! Resolvemos as integrais dos expoentes e simplificamos tudo. Agora que fizemos isso vamos para o último passo (AMÉM)!
Passo 3
O último passo da nossa resolução consiste em, obviamente, resolver essa última integral que aparece aí para complicar nossa vida. A integral é:
O bom é que essa integral tem um valor definido e tabelado, que é:
Agora que resolvemos todas as integrais que aparecem no problema (EU SEI, É CANSATIVO), basta substituirmos os resultados na solução geral:
Como , então nossa resposta será:
E está aí nosso resultado!
OBS: Note que omitimos a constante arbitrária em todas as integrações que fizemos, mas isso só ocorre porque a constante já aparece na nossa solução geral, tudo bem? Se não aparecesse, precisaríamos colocar todas as constantes, mas ainda bem que não precisamos, não é? hahaha! 😉