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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 2.7 - Ex. 23

Nos Problemas 1-26, resolva a equação diferencial dada usando uma substituição apropriada.

x y ' ' - y ' = 0

Passo 1

Fala aí, tudo beleza?

Olha, a gente tem que fazer uma substituição nessa EDO aqui:

x y ' ' - y ' = 0

Pra transformar ela em algo que a gente saiba resolver...

A gente tem que tentar diminuir a ordem dessa EDO, pra isso, vamos fazer:

u = y '

Passo 2

Bom, se u = y ' , temos:

u ' = y ' '

Substituindo isso na EDO, temos:

x u ' - u = 0

x d u d x = u

x   d u = u   d x

d u u = d x x

Show! Chegamos a uma equação com variáveis já separadas. Só temos que resolver agora...

Passo 3

Vamos integrar os dois lados:

∫ d u u   = ∫ d x x

ln ⁡ u = ln ⁡ x + C

ln ⁡ u x = C

u x = C 1

u = C 1 x

E como u = y ' , temos:

y ' = C 1 x

Aí vamos integrar novamente...

Passo 4

Temos que:

y = ∫ C 1 x   d x

y = C 1 x 2 2 + C 2

y = C 3 x 2 + C 2

E agora sim, terminamos! 😉

Resposta

y = C 3 x 2 + C 2

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Nos Problemas 1-26, resolva a equação diferencial dada usando uma substituição apropriada. y ' ' + 2 y y ' 3 = 0
Nos Problemas 1-26, resolva a equação diferencial dada usando uma substituição apropriada. y ' ' = 1 + y ' 2
Nos Problemas 1-26, resolva a equação diferencial dada usando uma substituição apropriada. x y ' ' = y ' + x y ' 2
Resolvay e x y d x d y + x e x y = 12 y 2 sujeito a y 0 = - 1 .