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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 2.7 - Ex. 25

Nos Problemas 1-26, resolva a equação diferencial dada usando uma substituição apropriada.

y ' ' + 2 y y ' 3 = 0

Passo 1

Fala aí, tudo beleza?

Olha, a gente tem que fazer uma substituição nessa EDO aqui:

y ' ' + 2 y y ' 3 = 0

Pra transformar ela em algo que a gente saiba resolver...

A gente tem que tentar diminuir a ordem dessa EDO, pra isso, vamos fazer:

u = y '

Passo 2

Bom, se u = y ' , temos:

y ' ' = u d u d y

Substituindo isso na EDO, temos:

y ' ' + 2 y y ' 3 = 0

u d u d y + 2 y u 3 = 0

d u d y = - 2 y u 3

u   d u = - 2 y u 3   d y

d u =   - 2 y u 2   d y

- d u u 2 = 2 y   d y

Show! Chegamos a uma equação com variáveis já separadas. Só temos que resolver agora...

Passo 3

Vamos integrar os dois lados:

∫ - d u u 2   = ∫ 2 y     d y

1 u = y 2 + C

u = 1 y 2 + C

E como u = y ' , temos:

y ' = 1 y 2 + C

d y d x = 1 y 2 + C

d x = y 2 + C d y

Aí vamos integrar novamente...

Passo 4

Temos que:

∫ d x = ∫ y 2 + C   d y

x = y 3 3 + C y + C 2

y 3 3 + C y - x = C 2

E agora sim, terminamos! 😉

Resposta

y 3 3 + C y - x = C 2

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