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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 4.2 - Ex. 16

Nos problemas 1-30, encontre uma segunda solução para cada equação diferencial. Use redução de ordem ou a fórmula (4) como ensinada. Suponha um intervalo apropriado.

1 - x 2 y ' ' - 2 x y ' = 0 ;       y 1 = 1

Passo 1

Olá, tudo bem?

Vamos encontrar uma outra solução pra essa EDO aqui:

1 - x 2 y ' ' - 2 x y ' = 0

y ' ' - 2 x 1 - x 2 y ' = 0

Aqui vamos usar a fórmula dada no livro:

y 2 = y 1 x ∫ e - ∫ P x d x y 1 2   d x

Passo 2

Agora temos P x = - 2 x 1 - x 2   (é o que acompanha o y ' ) , e y 1 = 1 , vamos jogar isso na fórmula:

y 2 = 1 ∫ e - ∫ - 2 x 1 - x 2 d x 1 2 d x

y 2 = 1 ∫ e - ln ⁡ 1 - x 2 1   d x

y 2 = ∫ 1 1 - x 2 d x

y 2 = ln ⁡ 1 + x 1 - x

E pronto! Chegamos à segunda solução 😉

Resposta

y 2 = ln ⁡ 1 + x 1 - x

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