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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 4.2 - Ex. 18

Nos problemas 1-30, encontre uma segunda solução para cada equação diferencial. Use redução de ordem ou a fórmula (4) como ensinada. Suponha um intervalo apropriado.

x 2 y ' ' - 3 x y ' + 5 y = 0 ;       y 1 = x 2 cos ⁡ ( ln ⁡ x )

Passo 1

Olá, tudo bem?

Vamos encontrar uma outra solução pra essa EDO aqui:

x 2 y ' ' - 3 x y ' + 5 y = 0

y ' ' - 3 x y ' + 5 y x 2 = 0

Aqui vamos usar a fórmula dada no livro:

y 2 = y 1 x ∫ e - ∫ P x d x y 1 2   d x

Passo 2

Agora temos P x = - 3 x   (é o que acompanha o y ' ) , e y 1 = x 2 cos ⁡ ( ln ⁡ x ) , vamos jogar isso na fórmula:

y 2 = x 2 cos ⁡ ( ln ⁡ x ) ∫ e - ∫ - 3 x d x x 2 cos ⁡ ( ln ⁡ x ) 2 d x

y 2 = x 2 cos ⁡ ( ln ⁡ x ) ∫ e 3 ln ⁡ x x 2 cos ⁡ ( ln ⁡ x ) 2   d x

y 2 = x 2 cos ⁡ ( ln ⁡ x ) ∫ x 3 x 2 cos ⁡ ( ln ⁡ x ) 2   d x

y 2 = x 2 cos ⁡ ( ln ⁡ x ) ∫ 1 x cos ⁡ ( ln ⁡ x ) 2   d x

y 2 = x 2 cos ⁡ ln ⁡ x ( tg ⁡ ( ln ⁡ x ) )

y 2 = x 2 sen ⁡ ( ln ⁡ x )

E pronto! Chegamos à segunda solução 😉

Resposta

y 2 = x 2 sen ⁡ ( ln ⁡ x )

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Encontre a solução geral da equação diferencial dada. 4 y ' ' - 4 y ' - 3 y = 0
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Encontre a solução geral da equação diferencial dada. y ' ' - 2 y ' + 10 y = 0
Resolva o problema de valor inicial dado. Esboce o gráfico da solução e descreva seu comportamento quando t cresce. 9 y ' ' - 12 y ' + 4 y = 0 , y 0 = 2 ,y ' 0 = - 1 .
Encontre a solução geral da equação diferencial dada. 2 y ' ' + 2 y ' + 1 y = 0