Enunciado

Nos problemas 1-36, encontre a solução geral para a equação diferencial dada.

d 5 y d x 5 - 16 d y d x = 0

Passo 1

Oiii, vamos matar esse exercício?

Vimos nessa seção do seu livro que para resolver uma equação diferencial de n-ésima ordem, vamos usar a equação auxiliar:

a . m n + b . m n - 1 + … = 0

1) Se tivermos raízes reais e distintas a solução geral da EDO é y = c 1 . e m 1 x + c 2 . e m 2 x + … + c n . e m n x

2) Se tivermos raízes reais iguais, a solução geral é y = c 1 . e m 1 x + c 2 . x . e m 1 x

3) Se tivermos raízes complexas conjugadas, a solução geral é y = C 1 . e α + i . β x + C 2 . e α - i . β x + …

Que podemos simplificar usando a fórmula de Euler:

e a . i = cos ⁡ a + i . s e n ( a )

e - a . i = cos ⁡ a - i . s e n ( a )

Então vamos lá??

Passo 2

Usando a equação auxiliar, vamos escrever d 5 y d x 5 - 16 d y d x = 0

y ' ' ' ' ' - 16 y ' = 0

Assim:

m 5 - 16 m = 0

Colocando m em evidência:

m . m 4 - 16 = 0

Então já temos uma solução que é m = 0

Agora precisamos resolver

m 4 - 16 = 0

m 4 = 16

m = ± 2

Então temos uma solução em m = 0 , duas soluções em m = 2 e duas soluções em m = - 2 , nossa solução geral fica assim:

y = c 1 . e 0 . x + c 2 . e 2 x + c 3 . x . e 2 x + c 4 . e - 2 x + c 5 . x . e - 2 x

Resposta

y = c 1 + c 2 . e 2 x + c 3 . x . e 2 x + c 4 . e - 2 x + c 5 . x . e - 2 x

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