Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 4.2 - Ex. 3
Expresse o número complexo dado na forma .
Passo 1
O exercício nos fornece um número complexo e nos pede para escrevê-lo nas formas . Porém antes de fazer isto, vamos rever a importância dessa operação.
Se temos uma equação diferencial homogênea da forma
Suas soluções devem ser algo como , ,..., , com sendo as raízes de uma equação polinomial de ordem . Tudo bem até aqui?
Se a equação possuir raízes complexas, então teremos soluções da forma .
De acordo com a fórmula de Euler podemos expressar uma função de uma forma mais conveniente como:
Em que é o módulo do número e é o ângulo polar.
Assim, o exercício nos pede para treinar esta conversão de uma exponencial complexa para as funções seno e cosseno equivalentes. Vamos lá???
Passo 2
Temos então a seguinte raiz complexa:
Se esta é a raiz da equação, então a função solução é:
Agora que já encontramos a exponencial vamos calcular o módulo do número. Ele é definido por:
Em que é o coeficiente real e é a coordenada imaginária. Neste caso, e . Então:
Vamos agora determinar o ângulo polar. Para isso, usaremos a relação:
Passo 3
Iremos agora aplicar a fórmula de Euler na equação:
Resposta
O número complexo pode ser escrito como .