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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 6.Exercícios de Revisão - Ex. 2

Nos Problemas 1-4, resolva a equação de Cauchy-Euler dada.

2 x 3 y ' ' ' + 19 x 2 y ' ' + 39 x y ' + 9 y = 0

Passo 1

Olá, tudo beleza?

Olha só, pra a gente resolver essa EDO, a gente faz uma substituição tipo:

y = x m

y ' = m x m - 1

y ' ' = m m - 1 x m - 2

y ' ' ' = m m - 1 m - 2 x m - 3

Vamos substituir isso na EDO agora...

Passo 2

Substituindo...

2 x 3 y ' ' ' + 19 x 2 y ' ' + 39 x y ' + 9 y = 0

2 x 3 m m - 1 m - 2 x m - 3 + 19 x 2 m m - 1 x m - 2 + 39 x m x m - 1 + 9 x m = 0

2 x m m 3 - 3 m 2 + 2 m + 19 x m m 2 - m + 39 x m m + 9 x m = 0

x m 2 m 3 - 6 m 2 + 4 m + 19 m 2 - 19 m + 39 m + 9 = 0

x m 2 m 3 + 13 m 2 + 24 m + 9 = 0

Nossa equação auxiliar então é:

2 m 3 + 13 m 2 + 24 m + 9 = 0

Passo 3

Resolvendo...

2 m 3 + 13 m 2 + 24 m + 9 = m + 3 2 m + 1 2 = 0

Então:

m 1 = m 2 = - 3

m 3 = - 1 2

Então, a solução da EDO é:

y = c 1 x - 3 + c 2 x - 3 ln ⁡ x + c 3 x - 1 2

Resposta

y = c 1 x - 3 + c 2 x - 3 ln ⁡ x + c 3 x - 1 2

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