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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 2.5 - Ex. 8

Nos problemas 1-40, encontre a solução geral para a equação diferencial dada. Especifique um intervalo no qual a solução geral é definida.

y ' + 2 x y = x ³

Passo 1

Bom galera vamos lá matar mais um exercício

Temos aqui uma equação diferencial linear, porque ela pode ser escrita no formato d y d x + A x . y = B ( x ) , olha:

y ' + 2 x y = x ³

d y d x + 2 x y = x ³     ( I )

Vimos que a solução de uma equação diferencial linear é dada por:

y x = 1 I x ∫ I x . B x   d x + c     ( I I )

Onde I x = e ∫ A x   d x

Na nossa equação ( I ) , temos A x = 2 x e B x = x ³ então:

I x = e ∫ 2 x   d x

I x = e x ²

Belezinha, já temos o nosso fator de integração

Passo 2

Agora que temos o fator de integração, vamos substituir o que temos na expressão ( I I ) :

y x = 1 e x ² ∫ e x 2 . x ³   d x + c     ( I I I )

Vamos resolver a integral separadamente, temos

∫ e x 2 . x 3 d x = ∫ e x 2 . x 2 . x   d x

Chamando s = x ² , temos d s = 2 x , então:

∫ e x 2 . x 3 d x = 1 2 ∫ e s . s   d s

Agora aplicando integral por partes com u = s e d v = e s , temos d s = 1 e v = e s :

∫ e x 2 . x 3 d x = 1 2 e s . s - ∫ e s     d s

∫ e x 2 . x 3 d x = 1 2 e s . s - e s

Então:

∫ e x 2 . x 3 d x = 1 2 e x ² . x ² - e x ²

Substituindo em ( I I I ) :

y x = 1 e x ² 1 2 e x ² . x ² - e x ² + c

y x = x 2 2 - 1 2 + c e x 2

Sendo que não temos restrição nenhuma em x :

- ∞ < x < ∞

Boaaa, foi mais fácil do que parecia né?

Resposta

y x = x 2 2 - 1 2 + c e x 2

- ∞ < x < ∞

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