Nos problemas 41-54, resolva a equação diferencial dada sujeita à condição inicial indicada.

48. x dy + (xy + 2y - 2e^(-x)) dx = 0 , no qual y(1) = 0 .

Passo 1

Então pessoal, para esses problemas da seção 2.5 precisamos lembrar de algumas coisinhas, ok? Essa equação diferencial que nos foi dada é uma equação diferencial linear. O formato dessa equação é esse aqui:

d y d x + P . y = Q

No qual P e Q são funções APENAS de x . Caso a função não esteja escrita nesse formato, devemos manipular a equação a fim de deixa-la nesse formato padrão, belê? Show! O lado bom é que esse tipo de equação tem uma solução geral padrão, que é:

y = e - ∫ P d x . ∫ e ∫ P d x . Q d x + c

Eu sei, parece assustador essa solução, não é? Prometo que é só impressão!

Sendo assim, o que precisamos fazer é definir quem é P e quem é Q e depois resolver essas integrais. Então mãos a obra!

Passo 2

A equação que nos foi dada é:

x d y + x y + 2 y - 2 e - x d x = 0

Como queremos escrever no formato:

d y d x + P . y = Q

Teremos:

x d y = - x y + 2 y - 2 e - x d x

d y d x = - y - 2 y x + 2 e - x x

d y d x = - y 1 + 2 x + 2 e - x x

d y d x + 1 + 2 x y = 2 x e - x

E então tiramos que:

P x = 1 + 2 x

Q x = 2 x e - x

Show!

Passo 3

Agora que encontramos P e Q vamos substituir na nossa solução geral:

y = e - ∫ P d x . ∫ e ∫ P d x . Q d x + c

y = e - ∫ 1 + 2 x d x . ∫ e ∫ 1 + 2 x d x . 2 x e - x d x + c

Para as integrais dos expoentes, teremos:

∫ 1 + 2 x d x = x + 2 ln ⁡ x

Substituindo:

y = e - x + 2 ln ⁡ x . ∫ e x + 2 ln ⁡ x . 2 x e - x d x + c

Utilizando essa propriedade de logaritmos:

e ln ⁡ x = x

Teremos:

y = e - x . e ln ⁡ x - 2 . ∫ e x . e ln ⁡ x 2 . 2 x e - x d x + c

y = e - x x 2 . 2 ∫ x 2 x d x + c

y = e - x x 2 . 2 ∫ x d x + c

Beleza! Resolvemos as integrais dos expoentes e simplificamos tudo. Agora que fizemos isso vamos para o último passo (AMÉM)!

Passo 4

O último passo da nossa resolução consiste em, obviamente, resolver essa última integral que aparece aí para complicar nossa vida. A integral é:

∫ x d x

Utilizando a seguinte regra de integração:

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + c

Teremos:

∫ x d x = x 2 2

Passo 5

Agora que resolvemos todas as integrais que aparecem no problema (EU SEI, É CANSATIVO), basta substituirmos os resultados na solução geral:

y = e - x x 2 . 2 ∫ x d x + c

y = e - x x 2 . 2 x 2 2 + c

y = e - x x 2 . x 2 + c = e - x + c e - x x 2

E está aí nosso resultado! No entanto não acaba por aqui, pois a questão nos dá uma condição inicial para descobrirmos c , não é mesmo? A condição é y 1 = 0 , então se aplicarmos esse ponto, teremos:

0 = e - 1 + c . e - 1 1 2

c e = - 1 e

∴ c = - 1

E então o resultado final mesmo será esse:

y = e - x - e - x x 2

OBS: Note que omitimos a constante arbitrária c em todas as integrações que fizemos, mas isso só ocorre porque a constante já aparece na nossa solução geral, tudo bem? Se não aparecesse, precisaríamos colocar todas as constantes, mas ainda bem que não precisamos, não é? hahaha! 😉

Resposta

y = e - x - e - x x 2

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