Enunciado
Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 2.5 - Ex. 53
Nos problemas 41-54, resolva a equação diferencial dada sujeita à condição inicial indicada.
53. , no qual .
Passo 1
Então pessoal, para esses problemas da seção 2.5 precisamos lembrar de algumas coisinhas, ok? Essa equação diferencial que nos foi dada é uma equação diferencial linear. O formato dessa equação é esse aqui:
No qual e são funções APENAS de . Caso a função não esteja escrita nesse formato, devemos manipular a equação a fim de deixa-la nesse formato padrão, belê? Show! O lado bom é que esse tipo de equação tem uma solução geral padrão, que é:
Eu sei, parece assustador essa solução, não é? Prometo que é só impressão!
Sendo assim, o que precisamos fazer é definir quem é e quem é e depois resolver essas integrais. Então mãos a obra!
Passo 2
A equação que nos foi dada é:
Escrever no formato do passo parece bem complicado para essa equação. Uma alternativa boa é inverter tudo, ou seja, encontrarmos ao invés de e fazer e ao invés de e . Manipulando nossa equação, teremos:
E então tiramos que:
Show!
Passo 3
Agora que encontramos e vamos substituir na nossa solução geral:
Como invertemos, teremos que calcular:
Para as integrais dos expoentes, teremos:
Substituindo:
Utilizando essa propriedade de logaritmos:
Teremos:
Beleza! Resolvemos as integrais dos expoentes e simplificamos tudo. Agora que fizemos isso vamos para o último passo (AMÉM)!
Passo 4
O último passo da nossa resolução consiste em, obviamente, resolver essa última integral que aparece aí para complicar nossa vida. A integral é:
Para nossa sorte o resultado dessa integral é tabelado e bem conhecido, saca só:
Agora que resolvemos todas as integrais que aparecem no problema (EU SEI, É CANSATIVO), basta substituirmos os resultados na solução geral:
E está aí nosso resultado! No entanto não acaba por aqui, pois a questão nos dá uma condição inicial para descobrirmos , não é mesmo? A condição é , então se aplicarmos esse ponto, teremos:
E então o resultado final mesmo será esse:
OBS: Note que omitimos a constante arbitrária em todas as integrações que fizemos, mas isso só ocorre porque a constante já aparece na nossa solução geral, tudo bem? Se não aparecesse, precisaríamos colocar todas as constantes, mas ainda bem que não precisamos, não é? hahaha! 😉