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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 6.1 - Ex. 38

Nos problemas 35-40, resolva a equação diferencial dada fazendo a substituição x = e t .

2 x 2 y ' ' - 3 x y ' - 3 y = 1 + 2 x + x 2

Passo 1

Opa! Como vai?

A gente quer resolver essa EDO aqui:

2 x 2 y ' ' - 3 x y ' - 3 y = 1 + 2 x + x 2

Fazendo a substituição x = e t :

2 e 2 t y ' ' - 3 e t y ' - 3 y = 1 + 2 e t + e 2 t

Agora precisamos colocar as derivadas de y em função de t também:

d y d x = d y d t ⋅ d t d x = 1 x d y d t = 1 e t d y d t

E daí teremos:

d 2 y d t 2 = 1 e 2 t d 2 y d t 2 - d y d t

Passo 2

Beleza, agora vamos substituir isso na EDO e ver no que dá:

2 e 2 t y ' ' - 3 e t y ' - 3 y = 1 + 2 e t + e 2 t

2 e 2 t 1 e 2 t d 2 y d t 2 - d y d t - 3 e t 1 e t d y d t - 3 y = 1 + 2 e t + e 2 t

2 d 2 y d t 2 - 2 d y d t - 3 d y d t - 3 y = 1 + 2 e t + e 2 t

2 y ' ' - 5 y ' - 3 y = 1 + 2 e t + e 2 t

Nossa equação homogênea associada então é:

2 y ' ' - 5 y ' - 3 y = 0

Show! Nossa equação auxiliar então é:

2 m 2 - 5 m - 3 = 0

Passo 3

Agora a gente resolve essa equação e encontra:

m 1 = - 1 2     e     m 2 = 3

A solução geral então é:

y g = c 1 e - 1 2 t + c 2 e 3 t

Beleza, vamos pra parte não homogênea agora...

Passo 4

Bom, olhando o que a gente tem do lado direito, vamos chutar uma solução do tipo:

y p = A + B e t + C e 2 t

Aí a gente vai encontrar esse coeficiente A . Pra isso a gente tem que substituir na EDO. Vamos descobrir as derivadas:

y p ' = B e t + 2 C e 2 t

y p ' ' = B e t + 4 C e 2 t

Substituindo:

2 y ' ' - 5 y ' - 3 y = 1 + 2 e t + e 2 t

2 B e t + 4 C e 2 t - 5 B e t + 2 C e 2 t - 3 A + B e t + C e 2 t = 1 + 2 e t + e 2 t

- 6 B e t - 5 C e 2 t - 3 A = 1 + 2 e t + e 2 t

Daí a gente tira que:

A = - 1 3

B = - 1 3

C = - 1 5

Então:

y p = - 1 3 - 1 3 e t - 1 5 e 2 t

Passo 5

Nossa solução então é:

y = y g + y p

y = c 1 e - 1 2 t + c 2 e 3 t - 1 3 - 1 3 e t - 1 5 e 2 t

E como x = e t , temos t = ln ⁡ x . E a nossa solução é:

y = c 1 x - 1 2 + c 2 x 3 - 1 3 - 1 3 x - 1 5 x 2

e... acabamos!

Resposta

y = c 1 x - 1 2 + c 2 x 3 - 1 3 - 1 3 x - 1 5 x 2

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