Enunciado
Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 2.2 - Ex. 43
Nos problemas 41-48, resolva a equação diferencial dada sujeita à condição inicial indicada.
43. , no qual .
Passo 1
Então galera, o nosso objetivo nessa questão é, primeiramente, resolver a equação diferencial da forma que estamos estudando, que é separando as variáveis, isto é, integrando tudo que tem de um lado e tudo que tem do outro, beleza? Show!
Quando a questão fala de condição inicial isso quer dizer que depois de resolvermos a equação diferencial, aplicando os pontos que a questão deu, conseguiremos determinar a constante arbitrária que surge na integração. O ponto dado serve exclusivamente para isso, tudo bem? Então vamos começar!
A equação que nos foi dada é:
Isolando as variáveis em cada lado da equação, teremos:
Opa! Variáveis devidamente separadas. Então simbora para o último passo!
Passo 2
Agora que isolamos as variáveis o próximo passo é integrar ambos os lados, se liga:
Para a integral do lado esquerdo vamos aplicar uma substituição simples, ok? A substituição será:
Derivando:
Substituindo na integral, teremos:
E para resolver a integral dessa forma vamos utilizar a seguinte regrinha:
Aplicando a ideia, teremos:
Voltando para a variável :
Passo 3
Para a integral da direita basta aplicarmos a regrinha que aplicamos no passo anterior, só que de forma direta mesmo, saca só:
Para nossa integral, teremos:
Passo 4
Por fim, igualando os resultados:
Juntando com teremos uma terceira constante que vamos chamar de , ok? Logo, nosso resultado será:
Note que agora que resolvemos a equação diferencial surgiu uma constante arbitrária, conforme discutimos no passo 1. Aplicando o ponto , teremos:
Sendo assim, nosso resultado para a condição inicial dada será:
E está aí a resolução! 😉