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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 2.2 - Ex. 61

Uma equação diferencial da forma d y d x = f a x + b y + c ,   b ≠ 0 , pode sempre ser reduzida a uma equação com variáveis separáveis por meio da substituição u = a x + b y + c . Use este procedimento para resolver os Problemas 57-62.

61. d y d x = 2 + y - 2 x + 3

Passo 1

Então pessoal, aqui o objetivo é resolvermos a equação diferencial dada utilizando a substituição indicada pelo enunciado, tudo bem? Sendo assim, vamos aplicar a ideia para ver o que surge! A equação que nos foi dada é:

d y d x = 2 + y - 2 x + 3

Fazendo a seguinte substituição:

u = y - 2 x + 3

Teremos:

d u d x = d y d x - 2

Substituindo o que encontramos na nossa equação diferencial, teremos:

d u d x + 2 = 2 + u

d u d x = u 1 2

Isolando as variáveis:

u - 1 2 d u = d x

Show!

Passo 2

Agora que isolamos as variáveis o próximo passo é integrar ambos os lados, se liga:

∫ u - 1 2 d u = ∫ d x

Para resolvermos a integral da esquerda vamos utilizar a seguinte regrinha de integração, galera:

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + c

Aplicando a ideia, teremos:

∫ u - 1 2 d u = 2 . u 1 2 + c 1

Já a integral da direita é bem tranquila, saca só:

∫ d x = x + c 2

Topzera!

Passo 3

Por fim, igualando os resultados:

2 . u 1 2 + c 1 = x + c 2

Juntando c 1 com c 2 teremos uma terceira constante que vamos chamar de c 3 , ok? Logo, nosso resultado será:

2 . u 1 2 = x + c 3

Mas note que estamos com um resultado em u e queremos um resultado em y , certo? Logo, lembrando da substituição que fizemos lá no passo 1, teremos:

2 y - 2 x + 3 = x + c 3

E esse é nosso resultado!

Resposta

2 y - 2 x + 3 = x + c 3

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