Enunciado
Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 2.6 - Ex. 9
Nos problemas 7-10, resolva a equação diferencial dada sujeita à condição inicial indicada.
9. , no qual .
Passo 1
Então pessoal, esses exercícios sobre equação de Bernoulli possuem um método bem tranquilo de resolução, basta que tenhamos atenção com algumas coisinhas! Quando utilizamos o método? Sempre que tivermos uma equação diferencial do tipo:
No qual , aplicaremos esse método. Em outras palavras, o que queremos fazer é transformar uma equação diferencial que não é linear, em uma equação diferencial LINEAR, conforme estudamos na seção passada.
O que vamos fazer é realizar uma substituição do tipo:
Depois derivar e substituir na equação diferencial original e resolver para , tudo bem? Show!
Ah! Vale ressaltar que depois que linearizarmos a equação diferencial, devemos utilizar a solução geral que já conhecemos, que é:
Sendo assim, o que precisamos fazer é definir quem é e quem é e depois resolver essas integrais.
Por fora: po, tranquilão!
Por dentro:
Mas vamo que vamo!
Passo 2
A equação que nos foi dada é:
Escrever no formato do passo parece bem complicado para essa equação. Uma alternativa boa é inverter tudo, ou seja, encontrarmos ao invés de e fazer e ao invés de e . Manipulando nossa equação, teremos:
Ok, missão cumprida! Agora fazendo a substituição:
Derivando em relação a , obteremos:
Top, top!
Passo 3
Agora que já fizemos a substituição adequada e encontramos a derivada associada, vamos substituir os resultados na nossa equação diferencial original, que é:
Simplificando, teremos:
E então tiramos que:
Passo 4
Agora que encontramos e vamos substituir na nossa solução geral:
Como invertemos, teremos que calcular:
Para a integral do expoente, teremos:
Substituindo:
Agora precisamos resolver essa última integral que aparece aí na solução. Temos que:
Substituindo:
Simplificando:
Beleza! Resolvemos as integrais e simplificamos tudo. Agora que fizemos isso vamos para o último passo (AMÉM)!
Passo 5
O resultado que encontramos está como e queremos o resultado como , certo? Lá no passo 2 a substituição que fizemos foi:
Voltando para a variável , teremos:
Note que aparece uma constante arbitrária que, a princípio, não conseguimos determinar o valor. No entanto, nessa questão o enunciado nos dá um ponto que permite que encontremos o valor de . Aplicando o ponto dado que é , teremos:
Sendo assim, nosso resultado para a condição inicial dada será:
E está aí a resolução! 😉