Enunciado
Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 2.5 - Ex. 51
Nos problemas 41-54, resolva a equação diferencial dada sujeita à condição inicial indicada.
51. , no qual .
Passo 1
Então pessoal, para esses problemas da seção 2.5 precisamos lembrar de algumas coisinhas, ok? Essa equação diferencial que nos foi dada é uma equação diferencial linear. O formato dessa equação é esse aqui:
No qual e são funções APENAS de . Caso a função não esteja escrita nesse formato, devemos manipular a equação a fim de deixa-la nesse formato padrão, belê? Show! O lado bom é que esse tipo de equação tem uma solução geral padrão, que é:
Eu sei, parece assustador essa solução, não é? Prometo que é só impressão!
Sendo assim, o que precisamos fazer é definir quem é e quem é e depois resolver essas integrais. Então mãos a obra!
Passo 2
A equação que nos foi dada é:
Como queremos escrever no formato:
Teremos:
E então tiramos que:
Como , então nossa solução se resume à:
Show de bola, menos trabalho pra gente, não é mesmo? Então bora que bora!
Passo 3
Substituindo na solução geral:
Para a integral do expoente, temos que:
Para resolver essa integral vamos fazer uma manipulaçãozinha, saca só:
Agora vamos fazer uma substituição simples:
Substituindo na nossa integral, teremos:
Voltando para :
Ok, integral resolvida!
Passo 4
Agora que descobrimos o resultado da integral, vamos substituir lá na solução geral, saca só:
Utilizando essa propriedade de logaritmos:
Teremos:
E está aí nosso resultado! No entanto não acaba por aqui, pois a questão nos dá uma condição inicial para descobrirmos , não é mesmo? A condição é , então se aplicarmos esse ponto, teremos:
E então o resultado final mesmo será esse:
OBS: Note que omitimos a constante arbitrária em todas as integrações que fizemos, mas isso só ocorre porque a constante já aparece na nossa solução geral, tudo bem? Se não aparecesse, precisaríamos colocar todas as constantes, mas ainda bem que não precisamos, não é? hahaha! 😉