Enunciado
Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 4.5 - Ex. 13
Nos problemas 7-16, se possível, fatore o operador diferencial dado.
Passo 1
E aí cara, tudo bom??
Vamos lá matar esse probleminha
Queremos fatorar operadores diferenciais, ou seja, vamos decompor o termo que foi dado em um produto de fatores, blz??
Para isso, vamos encontrar as raízes: os valores de que fazem o operador diferencial zerar
Juro que já to terminando a explicação, só mais uma coisinha hehehe
Temos que lembrar que se um polinômio tem raízes e , por exemplo, ele pode ser escrito como
Agora e se uma das raízes for negativa? Tipo e ? Aí ele pode ser escrito assim:
Agora sim, bora lá!
Passo 2
O operador diferencial aqui é
Vamos igualar isso a para encontrarmos as raízes:
Ta, mas como encontramos as raízes dessa equação?
Vamos usar o teorema das raízes racionais, ta bom? Ele diz que nossas raízes serão na forma
Mas quem é e quem é ?
Primeiramente, o nosso termo independente tem que ser divisível por , então os possíveis valores de são:
E em segundo, o nosso coeficiente do termo de maior grau (no caso, é o que multiplica o ), tem que ser divisível por , então os possíveis valores de são:
Como nossas raízes têm o formato , as possíveis raízes são:
Agora vamos testar essas raízes
Passo 3
Temos a equação
Que tem como possíveis raízes:
Testando :
Opaaaaaaa, peraí que já encontramos uma raíz da nossa equação
Isso mesmo galerinha, de cara já vimos que é uma raíz de
Então agora você tem duas opções:
- Ou você continua testando as raízes pra encontrar as duas raízes que faltam
- Ou você divide por , aí você vai encontrar uma equação do 2° grau e encontra as raízes restantes usando Bháskara
Vamos usar a segunda opção ta bom?
Passo 4
Dividindo por :
Fazendo a divisão de polinômios, encontramos
Ou seja, podemos escrever assim:
Pra encontrarmos as raízes restantes, vamos fazer
Então:
Então, nossas raízes são e (repara que são raízes que estavam nas possibilidades lá no passo 2 em )
Juntando com a outra raíz que já encontramos nossa fatoração fica assim: