Nesse problema, indicamos um modo de mostrar que, se r = r1 é uma raiz de multiplicidade s do polinômio característico Z(r), então e^r1t, te^r1t, . . . t^(s—1)e^r1t são soluções da Eq. (1). Esse problema estende para equações de ordem n o método para equações de segunda ordem dado no Problema 22 da Seção 3.4. Começamos da Eq. (2) no texto

e diferenciamos repetidas vezes em relação a r, fazendo r = r1 depois de cada diferenciação.

Note que, se r1 for uma raiz de multiplicidade s, então Z(r) = (r – r1)^s q(r), em que q(r) é um polinômio de grau n – s e q(r1) ≠ 0. Mostre que Z(r1), Z′(r1), . . . , Z^(s–1) (r1) são todos nulos, mas Z^(s) (r1) ≠ 0.

Ok, nosso primeiro passo vai ser considerar a equação dada no nosso enunciado para r= r1

Só falta fazermos a derivada!!

Pronto!! Agora é só substituir os valores e achar a solução!!

Se seguirmos essa linha de raciocínio para todos os coeficientes, teremos:

Aplicando r=r1, teremos: