Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 3.5 - Ex. 31
Em muitos problemas físicos, o termo não homogêneo pode ser especificado por fórmulas diferentes em períodos de tempo diferentes. Como exemplo, determine a solução de
que satisfaz as condições iniciais e . Suponha, também, que e são contínuas em. Faça o gráfico do termo não homogêneo e da solução em função do tempo. Sugestão: Primeiro resolva o problema de valor inicial para ; depois resolva para , determinando as constantes nesta última solução a partir das condições de continuidade em
Passo 1
Primeiro, temos as condições dadas para:
Temos que encontrar a solução homogênea:
Devemos achar a solução específica por meios dos coeficientes indeterminados:
Substituindo:
A solução será dada por:
Podemos resolver e , usando as condições iniciais porque elas se encaixam no domínio .
A solução no domínio:
Passo 2
A segunda condição é dada quando .
Então a EDO será:
A solução homogênea será :
Então, vamos achar a solução particular:
Aplicando na EDO:
A solução para :
Temos que encontrar os valores de e :
A solução será: