Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 10.1 - Ex. 23
Nesse problema, vamos esboçar uma demonstração de que os autovalores do problema de valores de contorno (18), (19) são reais.
(a) Escreva a solução da Eq. (18) como em que , e imponha as condições de contorno (19). Mostre que existem soluções não triviais se, e somente se, 10.2
(b) Seja e use a relação de Euler para determinar as partes real e imaginária da Eq. (i).
(c) Considerando as equações encontradas no item (b), mostre que é um inteiro e que Em consequência, é real e também.
Passo 1
Nós temos que:
Podemos aplicar na equação característica:
Se . Aplicando na fórmula geral, teremos:
Aplicando nas condições de contorno:
Então:
Se a solução não é trivial, existe apenas:
Passo 2
(b) Usando a relação de Euler, podemos dizer que:
Passo 3
(c) Agora, usaremos a relação proposta pelo exercício que diz que:
Quando:
E também:
Ou:
Podemos escrever:
A função seno zera se:
Se: