Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 10.1 - Ex. 12

Em cada um dos problemas de 1 a 13, resolva o problema de valores de contorno dado ou mostre que não tem solução:

x 2 y ″ + 3 x y ' + y = x 2   ,   y ( 1 )   =   0 ,   y ( e )   =   0

Passo 1

Devemos encontrar a solução geral da EDO homogênea, considerando que a parte homogênea é x 2 y ' ' + 3 x y ' + y = 0 do tipo y = x r , então, quando substituímos na equação diferencial:

x 2 r r - 1 x r - 2 + 3 x r x r - 1 + x r = 0

Aplicando os termos corretos, ficamos com:

r r - 1 + 3 r + 1 = 0

A equação terá duas raízes idênticas: r = - 1 .

Para multiplicidade de raízes de k = 2 , existem k - 1 = 1 soluções da forma x m , x m ln ⁡ k k - 1 . Nossa solução homogênea será:

y h = c 1 x + c 2 x ln ⁡ x

Agora, devemos encontrar a parte não homogênea y p = k x 2 , substituindo na EDO teremos:

A Solução geral será dada por:

y = y h + y p

y = c 1 x + c 2 x ln ⁡ x + k x 2

Agora, devemos aplicar nas condições de contorno:

Se y 1 = 0 :

y = c 1 x + c 2 x ln ⁡ x + k x 2

y ( 1 ) = c 1 1 + c 2 1 ln ⁡ 1 + k 1 2

c 1 = - k

A outra condição de contorno será dada por:

y e = 0

y ( e ) = c 1 e + c 2 e ln ⁡ e + k e 2

c 2 = 1 k ( 1 - e 3 )

Substituindo :

y = - k x + 1 k ( 1 - e 3 ) 1 x ln ⁡ x + k x 2

Resposta

y = - k x + 1 k ( 1 - e 3 ) 1 x ln ⁡ x + k x 2

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Para cada uma das condições de contorno a seguir, encontre o menor autovalor (a força de deformação) de y ^(4) + λy′′ = 0 e encontre também a autofunção associada (a forma da coluna deformada).
Um rastreador não reativo em uma concentração c0 está sendo continuamente introduzido em um fluxo regular na extremidade rio acima de uma coluna de comprimento L cheia de um meio granular homogêneo. S
Substâncias dissolvidas em um aquífero são transportadas por dois mecanismos separados. O processo pelo qual um soluto é transportado pelo grande movimento do fluxo da água subterrânea é chamado de ad
Nesse problema, esboçamos uma demonstração de que as autofunções do problema de Sturm-Liouville (1), (2) são reais..Usando o Teorema 11.2.3, ou o resultado do Problema 20, mostre que U e V são linearm
Substâncias dissolvidas em um aquífero são transportadas por dois mecanismos separados. O processo pelo qual um soluto é transportado pelo grande movimento do fluxo da água subterrânea é chamado de ad