Enunciado
Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 0.4 - Ex. 29
Prove que, se , então o gráfico de:
É simétrico em relação à reta .
Passo 1
Falaaaa, tranquilin? Po gente, seguinte. Pra resolver essa questão, vamos lembrar que toda função inversa é uma imagem espelhada da sua função original em relação à reta . Sendo assim, se uma função já tem essa simetria naturalmente, é porque ela é a sua própria inversa! Então pra provar isso, seja:
Pra gente conseguir inverter, vamos precisar reescrever a função de forma a fazer aparecer somente uma vez! Sendo assim, podemos por em evidência em cima e em evidência em baixo, transformando a função em:
Agora olha só, se eu somar e subtrair por em cima, não mudo nada, né?
Só que, se:
Vamos ter que:
E logo:
Opa, então tai uma vez só mesmo agora!
Passo 2
Agora vamos isolar pra podermos inverter depois, ok? Multiplicando os dois lados por , temos:
Dividindo os dois lados por , temos:
Subtraindo dos dois lados, temos:
Multiplicando os dois lados por , temos:
Dividindo os dois lados por , temos:
Somando nos dois lados, temos:
Show, isolado!
Passo 3
Agora vamos arrumar isso ai antes de trocar de lugar. Primeiro, vamos colocar tudo no mesmo denominador:
Juntando as duas frações:
E por fim, podemos multiplicar em cima e em baixo por :
E bem, pra fecharmos mesmo, falta só trocar de lugar:
E tai galera, provado! Restauramos a função original, o que significa que ela é a sua própria inversa e logo, simétrica a
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)