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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 0.4 - Ex. 13

Encontre a fórmula para f^(- 1) (x)

13 ) f (x) = (3)/(x ²) , x < 0

Passo 1

Toda vez que formos inverter uma função galera, vamos seguir três passos, ok? São eles:

y = f (x)

f (y) = x

f^(- 1) (x) = y

Por extenso, temos:

  • Passo 1: Escrever a função como y igual a uma função de x
  • Passo 2: Isolar x de forma que possamos escrever ele como uma função de y
  • Passo 3 : Trocar x , y de lugar e chamar a nova função de x encontrada da inversa f^(- 1) (x)

Bora lá?

Passo 2

Seja:

y = (3)/(x ²)

Multiplicando os dois lados por x^2 , temos:

y * x^2 = (3)/(x^2) * x^2

y * x^2 = 3

Dividindo os dois lados por y , temos:

(y * x^2)/(y) = (3)/(y)

x^2 = (3)/(y)

E tomando a raiz quadrada dos dois lados, ficamos com:

x = +- sqrt((3)/(y))

Porém, como o enunciado disse que x < 0 , o certo seria:

x = - sqrt((3)/(y))

Perfeito, basta então trocar x , y de lado e achamos nossa inversa!

y = - sqrt((3)/(x))

f^(- 1) (x) = - sqrt((3)/(x))

Resposta

f^(- 1) (x) = - sqrt((3)/(x))

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